11. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Однородные (ЛОДУ)

Линейные однородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеют вид:

(12)

Где Р1 и Р2 — действительные числа.

Согласно теореме о структуре общего решения линейного однородного ДУ достаточно найти два линейно независимых частных решения и уравнения (12), чтобы записать общее решение:

Где Y00 – общее решение однородного уравнения.

Будем искать решение уравнения (12) в виде где некоторая постоянная. Чтобы определить подставим в уравнение (12).
В результате подстановки получим уравнение

Так как то

(13)

Квадратное уравнение (13) называют Характеристическим уравнением для ДУ (15), а его корни и Характеристическими числами. При решении характеристического уравнения (16) могут возникнуть три случая:

А) Корни и действительные и различные. Тогда общее решение уравнения (15) будет иметь вид:

(14)

Б) Корни и действительные и равные, Общее решение уравнения (15) будет иметь вид:

(15)

В) Корни и Комплексно сопряженные, Тогда общее решение уравнения (12) примет вид:

(16)

Пример 2.2. Найти общие решения линейных однородных ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

А) б)

В) г)

Решение.

А) Составим характеристическое уравнение:

Решим его, используя формулу корней квадратного уравнения:

Получим корни:

Поскольку и то общее решение запишем в виде (14):

Б)

Характеристическое уравнение:

Его корни найдем по формуле корней квадратного уравнения:

Поскольку то общее решение запишем в виде (15):

В)

Характеристическое уравнение:

Его корни найдем по формуле корней квадратного уравнения:

Получим комплексно сопряженные корни где А=1, B=4.

Решение запишем в виде (16):

Г)

Характеристическое уравнение:

Решим его:

— комплексно сопряженные корни вида где А = 0, B = 1,3. Решение запишем в виде (16), при этом учтем, что

< Предыдущая		Следующая >