10. ДУ, допускающие понижение порядка

1) Если дифференциальное уравнение имеет вид:

(9)

Т. е. правая часть не содержит У, У¢ и т. д. до n-1 производной функции Y, то ДУ решается n-кратным последовательным интегрированием:

И т. д. пока не будет найдена искомая функция Y(X).

Пример: решить ДУ

Интегрируем это выражение в первый раз

И далее

Итак:

2) Если дифференциальное уравнение имеет вид:

(10)

Т. е. в уравнении отсутствуют все младшие производные и сама функция, кроме двух последних производных и . Тогда, введя новую функцию и, соответственно получим ОДУ первого порядка вида . Это уравнение можно решать одним из вышеописанных способов для уравнений первого порядка.

Пример.

Решение

Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно искомую функцию и ее первую производную Y’. Введем новую функцию , тогда . Получим уравнение:

Вернемся к первоначальной переменной:

Последовательно интегрируя, получим:

Для простоты можно переобозначить на , а на , тогда общее решение примет вид:

3) Если дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:

, (11)

Т. е. если в уравнении отсутствует явно переменная X.

Тогда проведем замену , считая производную функцией от Y. Тогда по формуле дифференцирования сложной функции: . И, подставив все эти выражения в исходное ДУ, получим его в виде дифференциального уравнения первого порядка относительно функции P и переменной Y : . Его можно решать методами, описанными выше.