10. Линейная зависимость и независимость векторов

Рассмотрим далее основополагающие в линейной алгебре понятие о линейной зависимости и независимости векторов, а также определение базиса системы векторов.

Любую конечную последовательность векторов Будем называть системой векторов, а любую ее подпоследовательность – подсистемой векторов. Линейной комбинацией векторов назовем вектор , равный сумме произведений произвольных чисел на векторы системы, т. е. .

Система векторов называется линейно независимой, если их линейная комбинация равна нулевому вектору только в том случае, когда все числа равны нулю. В обратном случае система векторов называется линейно зависимой. Отсюда, система векторов является линейно зависимой в том случае, когда линейная комбинация векторов равна нулевому вектору, а хотя бы один числовой коэффициент отличен от нуля.

Линейная зависимость и независимость есть свойства системы векторов. Однако часто соответствующие прилагательные относят и к самим векторам. Поэтому вместо «линейно независимая система векторов» допустимо говорить «линейно независимые векторы».

Например, двумерные арифметические векторы И Линейно независимы. Их линейная комбинация равна вектору , который обращается в нулевой вектор Только тогда, когда и .

Если взять векторы И , то они являются линейно зависимыми, так как их линейная комбинация равна нулевому вектору при И , не равных нулю.

Из определения линейной зависимости (независимости) системы векторов вытекают следующие утверждения.

1) Если некоторая система векторов содержит нулевой вектор, то она является линейно зависимой.

Пусть для определенности первый вектор системы является нулевым, т. е.

Тогда линейная комбинация векторов вида равна нулевому вектору, что и доказывает наше утверждение.

2) Если среди векторов системы есть такие, которые сами образуют линейно зависимую подсистему, то вся система также линейно зависима.

Так как исходная подсистема линейно зависима, то среди коэффициентов линейной комбинации векторов подсистемы имеется хотя бы один отличный от нуля. Добавим к этой линейной комбинацию линейную комбинацию векторов, не вошедших в исходную подсистему, с числовыми коэффициентами, равными нулю. Мы получим линейную комбинацию из векторов полной системы, которая равна нулевому вектору, причем имеется хотя бы один коэффициент отличный от нуля. Таким образом, наше утверждение доказано.

3) Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема также линейно независима.

Если предположить обратное, т. е. существование некоторой линейно зависимой подсистемы, то по предыдущему утверждению отсюда следует зависимость исходной системы, что противоречит условию доказываемой теоремы. Полученное противоречие доказывает сформулированное утверждение.

4) Для того чтобы система из Ненулевых векторов была линейно зависима необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векторов системы мог быть представлен как линейная комбинация предшествующих векторов.

Необходимость. Пусть система векторов линейно зависима. Тогда равенство выполняется при том условии, что хотя бы одно из чисел в левой части равенства отлично от нуля. Будем перебирать эти числа, начиная с большего номера, и остановимся на некотором номере таком, что соответствующий коэффициент отличен от нуля, т. е. . Номер не может быть равен единице, так как иначе из условий И теоремы о нулевом произведении следовало бы равенство , что противоречит правилу выбора номера и условию теоремы. Таким образом , и справедливо равенство. Отсюда находим вектор Таким образом, чтобы он является линейной комбинацией предшествующих ему векторов, а именно .

Достаточность. Пусть имеется некоторый вектор , который представлен в виде линейной комбинации предшествующих ему векторов . Тогда выполняется условие , что по определению означает линейную независимость исходной системы векторов.

По аналогичной схеме доказывается следующее утверждение.

5) Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов системы может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов.

< Предыдущая		Следующая >