08. Теорема Крамера
Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способом по формуле , либо по формулам Крамера ,
Где матрицы получены из матрицы заменой -тых столбцов на столбец правых частей системы.
Доказательство.
В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица . Умножая нашу систему, имеющую в матричной форме вид , слева на обратную матрицу , получим: .
Таким образом, доказано, что матричным способом вектор – столбец решений Находится в единственном виде по формуле .
Если далее формулу представить в покомпонентной записи, то для компонент вектора неизвестных будем иметь формулы
,,
Так как суммы в круглых скобках представляют собой разложения определителей по -тым столбцам матриц .
Таким образом, теорема Крамера полностью доказана.
Решим для примера следующую систему уравнений:
Матрица коэффициентов этой системы неособенная, так как . Присоединенная матрица Имеет вид . Отсюда , ,
Т. е. .
Если ту же систему уравнений решать с помощью формул Крамера, то:
,
,
.
Отметим, что в нашем примере мы находили определители в числителях формул Крамера, используя разложения по столбцам свободных членов. Однако, как следует из теоремы о разложении определителя по любым строкам или столбцам, можно было выбрать любые удобные строки или столбцы.
< Предыдущая | Следующая > |
---|