07. Обратная матрица и её свойства

Матрицу называют обратной к , если Удовлетворяет условиям

.

Справедлива следующая теорема.

Теорема (о существовании и единственности обратной матрицы).

Любая квадратная матрица имеет единственную обратную матрицу, вычисляемую по формуле , тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

МатрицаНазывается присоединенной по отношению к матрице , и ее столбцы состоят из алгебраических дополнений к элементам, расположенным в соответствующих строках исходной матрицы .

Доказательство.

Докажем, что условие , является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главной диагонали произведения матрицы на обратную матрицу стоят суммы произведений элементов строк матрицы на соответствующие этим элементам строк алгебраические дополнения. Эти суммы дают значения определителя, который по условию теоремы не равен нулю. Любые элементы произведения матриц , не лежащие на главной диагонали, равны нулю, так как там стоят суммы произведений элементов строк матрицы на алгебраические дополнения к элементам других строк.

Таким образом: .

Аналогично доказывается, что произведение , что означает существование обратной матрицы в виде, указанном в формулировке теоремы.

Покажем, что эта матрица единственная. Предположим, что имеется хотя бы одна матрица , также удовлетворяющая условиям . Умножая равенство слева на матрицу , получим цепочку следований:

,

Что доказывает единственность обратной матрицы.

Докажем, что условие является необходимым, то есть из существования обратной матрицы должна следовать невырожденность исходной матрицы . Действительно, из теоремы об определителе произведения матриц и определения обратной матрицы следует, что . Отсюда можно сделать вывод, что и, так как иначе их произведение не могло бы равняться отличному от нуля числу 1. Теорема полностью доказана.

Отметим, что в процессе доказательства теоремы было показано, что определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя исходной матрицы, то есть вычисляется по формуле .

Квадратная матрица , обладающая свойством , называется ортогональной. Следующие основные свойства обратных матриц:

1) , 2) , 3)

Доказываются обычно по методу представления в общем виде элементов матриц, стоящих слева и справа от знаков равенств.

Рассмотрим пример вычисления обратной матрицы методом присоединенной матрицы, то есть путем составления алгебраических дополнений, для следующей матрицы третьего порядка . Ее определитель вычислим методом разложения по первой строке . Так как определитель матрицы не равен нулю, то матрица неособенная, и поэтому можно составлять обратную матрицу . Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы :

, , ,

, ,,

, , .

Обратной матрицей для матрицы является следующая матрица:

.

Для того чтобы проверить правильность составления обратной матрицы, следует исходную матрицу умножить на обратную ей матрицу. В результате должна получиться единичная матрица соответствующего размера.

С помощью обратной матрицы, найденной вышеуказанным способом, удобно решать невырожденные квадратные системы с небольшим числом неизвестных. При этом решение системы находится за конечное число шагов и явно выражается через коэффициенты системы и свободные члены. Правило решения такой системы формулируется в следующей теореме.

< Предыдущая		Следующая >