05. Определители матриц и их свойства

Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет числом; если элементы матрицы функции, то и определитель будет функцией и так далее. Обозначается определитель любой квадратной матрицы одним из следующих символов . Определяющее правило составления определителя введем индуктивно, то есть будем выражать значение определителя матрицы размера (определитель порядка ) через определители меньших порядков.

Определитель матрицы положим равным элементу . Так, например, .

Определителем порядка назовем число, которое будем находить по правилу разложения по первой строке матрицы размера :

.

В этой и во всех последующих формулах минором Элемента Называется определитель порядка , полученный вычеркиванием из исходной матрицы строки с номером и столбца с номером . Отсюда определитель второго порядка находится по правилу

,

Т. е. составляется разность произведений элементов, стоящих на главной диагонали, и элементов, стоящих на побочной диагонали.

Так , .

Определитель третьего порядка по общей формуле сначала выражается через определители второго порядка и далее определители первого порядка:

=

= =

= .

Если в последнем выражении определителя третьего порядка в одну группу собрать произведения со знаком плюс, а во вторую – произведения со знаком минус, то мы получим формулу раскрытия определителя по правилу Саррюса:

=

(определитель третьего порядка равен сумме произведений его элементов, находящихся на главной диагонали и в вершинах равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали, минус сумму произведений элементов, находящихся на побочной диагонали и в вершинах равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали).

Вычислим по правилу Саррюса следующий определитель третьего порядка

=

=.

В теории определителей важную роль играет следующая основная теорема, которую мы приводим без доказательства. Определим, предварительно, алгебраическое дополнение любого элемента по формуле

.

Как следует из определяющей формулы, алгебраическое дополнение может отличаться от минора только знаком.

Теорема (о разложении определителя по любой строке или столбцу).

Определитель порядка равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на соответствующие алгебраические дополнения.

Например, формула разложения определителя по Той строке в соответствии с основной теоремой имеет вид:

Этой теоремой широко пользуются при вычислении определителей, стараясь выбирать те строки или столбцы, которые содержат больше нулей.

Перечислим основные свойства определителей.

Свойство 1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, то есть .

Это свойство непосредственно следует из основной теоремы о разложении определителя по любой строке или столбцу.

Свойство 2. Знак определителя изменяется на противоположный при перестановке двух произвольных строк (столбцов) местами.

Свойство 3. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые слагаемые, а во втором – вторые слагаемые:

.

Это свойство следует из основной теоремы о разложении определителя по любой строке или столбцу, если разложить определитель по строке (столбцу), который содержит суммы элементов.

Свойство 4. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя умножить на постоянный множитель, то исходный определитель умножится на этот множитель. Это свойство следует из основной теоремы о разложении определителя по любой строке или столбцу, если разложить определитель по строке (столбцу), который содержит постоянный множитель.

Свойства 3 и 4 могут применяться многократно и составляют, так называемые, линейные свойства определителей.

Свойство 5. Если определитель содержит хотя бы одну строку (столбец), состоящий из нулевых элементов, то он равен нулю.

Это свойство следует из основной теоремы о разложении определителя по любой строке или столбцу, если разложить определитель по строке (столбцу), который содержит только нулевые элементы.

Свойство 6. Если определитель содержит две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Действительно, если переставить в матрице с определителем две равные строки, то эта матрица не изменится и будет иметь тот же определитель . С другой стороны, по свойству 2, знак определителя изменяется на противоположный при перестановке любых двух строк матрицы. Отсюда значение определителя равно . Таким образом получается, что , что и требовалось доказать.

Свойство 7. Если к некоторой строке (столбцу) определителя прибавить линейную комбинацию некоторых других строк (столбцов), то величина определителя не изменится.

Это свойство следует из линейных свойств определителя и свойства 6.

Теорема (теорема аннулирования).

Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам любой другой строки (столбца) равна нулю.

Доказательство.

Напишем формулу разложения определителя по первой строке

.

Вид этой формулы не зависит от того, какие конкретно значения имеют элементы первой строки. Поместим в первую строку элементы любой другой строки. Тогда мы получим определитель с двумя одинаковыми строками, который по свойству 6 равен нулю. Кроме того, в этом случае алгебраические дополнения, которые остались в формуле разложения соответствующими первой строке, не будут соответствовать той строке, которую мы поместили на место первой строки. Таким образом, мы получили, что сумма произведений элементов любых строк, кроме первой, на алгебраические дополнения элементов первой строки, равно нулю. Аналогично, используя теорему о разложении определителя по любой строке (столбцу), доказывается теорема для остальных строк и столбцов.

Теорема (об определителе произведения двух матриц).

Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей матриц сомножителей .

Теорема приводится без доказательства. Следующий пример

, , ,

,

иллюстрирует сформулированную теорему.

< Предыдущая		Следующая >