03. Утверждения, справедливые для любых линейных пространств

Из аксиом, определяющих линейное пространство, можно в качестве логических следствий получить ряд утверждений, справедливых для любых линейных пространств.

Определение. Вектор , удовлетворяющий уравнению Для любых Из , называют разностью векторов И, и обозначают . Операцию, которая ставит в соответствие любым двум элементам Из Третий элемент из , называют вычитанием.

Для того, чтобы введенное определение было корректным, необходимо доказать теорему о существовании и единственности решения уравнения .

Теорема (о существовании и единственности разности элементов).

Для любых двух векторов Линейного пространства, существует такой единственный вектор Из , что .

Доказательство.

Покажем, что такой вектор существует. Возьмем И убедимся, что этот элемент удовлетворяет уравнению .

Действительно, .

Докажем, что этот вектор единственный. Возьмем другой вектор Из , удовлетворяющий нашему уравнению , и выполним следующие преобразования:

.

Таким образом, любой вектор, удовлетворяющий определяющему уравнению, равен , что и доказывает единственность такого вектора.

Приведем еще, без подробного доказательства, несколько важных следствий из доказанной теоремы и аксиом линейного пространства.

1. Существует единственный нулевой элемент , равный Для любого Из что следует из аксиом и теоремы.

2. Существует единственный противоположный элемент , равный для любого Из , что следует из аксиом И теоремы.

3. Соотношения или влекут равенство Для любых из , что следует из аксиомы и доказанной теоремы.

Теорема (об условиях равенства нулю произведения числа на вектор ).

Произведение числа на вектор равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда число равно нулю или вектор равен нулевому вектору.

Доказательство. Пусть число равно нулю или вектор Является нулевым. Покажем, что . Пусть вначале . Справедливо . В силу единственности нулевого вектора отсюда следует . Если , то рассмотрим равенства . Снова, в силу единственности нулевого вектора, следует .

Обратно, пусть . Покажем, что Или . Доказательство проведем методом от обратного. Предположим, что равенство Истинно, а заключение Или ложное, т. е. справедливо И . Тогда по предположению и уже доказанной первой части нашей теоремы получим .

С другой стороны, по нашему предположению и аксиомам Имеем . Полученное противоречие доказывает вторую часть теоремы.

Из доказанных выше теорем выведем еще два следствия.

ДЛя любого вектора Из противоположный вектор равен .

Действительно, Отсюда, в силу единственности противоположного вектора, получаем доказательство следствия.

Для любого вектора Из противоположный вектор к противоположному равен исходному вектору, т. е. .

Действительно, , что и утверждается в следствии.

< Предыдущая		Следующая >