02. Примеры линейных пространств

1. Множество арифметических векторов.

Всякая конечная упорядоченная последовательность из вещественных чисел называется вещественным арифметическим - мерным вектором и обозначается в виде . Числа называются компонентами арифметического вектора.

Сложение арифметических векторов и умножение их на число выполняется по правилам сложения соответствующих компонент и умножения каждой компоненты на число, т. е.

, .

Например, если даны четырехмерные арифметические векторы и , то их сумма Равна вектору, а произведение вектора На число -2 равно вектору . Так как аксиомы линейного пространства выполняются для чисел, а операции И Осуществляются в виде покомпонентного сложения и умножения чисел, то и для арифметических векторов любой размерности выполняются постулаты Таким образом, множество всех вещественных арифметических - мерных векторов с введенными выше операциями есть линейное пространство, нулевым вектором которого является вектор , а противоположным для каждого вектора Является вектор . Это пространство называют вещественным - мерным арифметическим пространством и обозначают . При мы получаем вещественное одномерное арифметическое пространство , которое совпадает со множеством вещественных чисел .

2. Множество числовых функций.

Рассмотрим множество числовых функций, определенных на некотором промежутке. Любым двум функциям и Из этого множества можно поставить в соответствие их сумму , которая также является функцией и, очевидно, принадлежит рассматриваемому множеству функций. Каждому числу И функции Ставится в соответствие функция , которая также принадлежит исходному множеству функций. Роль нулевого элемента играет функция тождественно равная нулю на всем промежутке, а противоположным элементом для Будет функция . Справедливость аксиом для функций следует из того, что эти аксиомы истинны для чисел, а операции сложения функций и умножения их на число выполняются при каждом значении аргумента из промежутка как обычные числовые операции. Таким образом, можно утверждать, что множество числовых функций образует векторное пространство.

3. Множество Всех полиномов степени не выше .

Элементами множества Являются полиномы вида , причем старшая степень может изменяться от нуля до . Сумма двух любых полиномов из множества и произведение любого полинома на число также принадлежат исходному множеству . Аксиомы выполняются для таких полиномов, что проверяется непосредственно. Роль нулевого полинома играет полином, у которого все коэффициенты равны нулю, а противоположным элементом для любого полинома служит . Множество будет вещественным или комплексным линейным пространством в зависимости от того, рассматриваем ли мы полиномы с вещественными или комплексными коэффициентами. Заметим, что множество всех полиномов степени, точно равной натуральному числу , не образуют линейное пространство, так как сумма двух таких полиномов может оказаться со степенью меньшей , и операция суммирования выводит нас за рамки исходного множества, что недопустимо по определению линейного пространства.

Например, И полиномы второй степени, а их сумма является полиномом первой степени.

< Предыдущая		Следующая >