5.4. Показательная и логарифмическая функции

Функция

Y = аX (17)

Называется Показательной, потому что независимая пе­ременная Х входит в показатель степени. При А = 1 мы получаем Aх = 1, т. е. постоянную функцию У = 1. Если, например, А = –3, то при Х = получаем . Но такого действительного числа не существует. Поэто­му полагают, что А ¹ 1 и A > 0.

Рассмотрим, например, показательную функцию с основанием 2:

Y = 2Х. (18)

Эта функция возрастает на всей числовой оси, т. е. при из­менении переменной Х от –¥ до ¥. Если Х стремится к –¥, то У стремится к нулю. Это видно из следующей табли­цы значений функции У = 2Х:

График функции У = 2Х изображен на рис. 18.

Найдем теперь функцию, обратную показательной (17). Для этого, как и выше, сделаем замену Х « У:

Х =аY.

Итак, величина У представляет собой показатель степе­ни, в которую нужно возвести число А, чтобы полу­чить Х. Это принято записывать следующим образом:

Y = logA Х. (19)

Выражение справа читают так: «логарифм числа Х по основанию A». Функция (19) называется Логарифмической. Согласно определению,

LogA 1 = 0, logA A = 1, logA Ak = K.

График логарифмической функций, как и положено, симметричен графику функции У = Aх относительно прямой У = Х.

На рис. 19 изображены графики функций У = 2Х и У = log2 Х. Мы видим, что обе функции — показательная и логарифмическая являются возрастающими. Но это только потому, что основание А больше единицы. Например, в случае А = Графики показатель­ной функции У = и обратной ей логарифмиче­ской функции У = Имеют иной вид (см. рис. 20). Видно, что обе функции являются убывающими.

Для логарифмов по основаниям 10 и Е (Е — неперово число, см. гл. I, §2) используются специальные обозна­чения: log10 X = lg X, loge X = ln X.

Показательная функция У = Aх играет в математике особую роль. Она называется Экспоненциальной функцией Или, короче, Экспонентной.

Пример. Степень экологической безопасности мест захоронения радиоактивных отходов зависит от скорос­ти распада радиоактивной массы Т. Известно, что эта скорость в момент времени T пропорциональна массе вещества, что приводит к следующей зависимости:

M(T) = Т0 е-Kt.

Здесь M0 — масса отходов в начальный момент, M(T) — Масса отходов, оставшаяся к моменту времени T. Пара­метр K находят опытным путем.

Пользуясь приведенной выше формулой, можно вычислить количество отходов на любой интересующий нас момент времени. Например, для одного из изотопов кобальта K = 0,13. Найдем массу отходов кобальта, ко­торая останется через 5,2 года, при условии, что исход­ная масса была 100 граммов. Имеем:

M(5,2) = 100 Е–0,13 • 5,2 = 100 • Е–0,676 = 50,87 г.

(Напоминаем, что временной промежуток, за который распадается половина массы, называется периодом по­лураспада.)

УПРАЖНЕНИЯ

12. Постройте графики функций а) У = 3Х; б) У = ; в) У = log3 Х; г) У = .

13. Постройте графики функций а) У = 2Х; б) У = 3Х; в) У = Eх.

Указание: учтите, что 2 < Е < 3.

14. Изобразите на одном чертеже графики функций а) У = log2 Х; б) У = log3 х; в) У = LogE х º ln Х.

Логарифмы используют для приближенного вычисления произведений, частных и степеней. Если под ру­кой нет калькулятора, но имеется таблица десятичных логарифмов, то вычисления проводят так. Найдем, на­пример, число N = 0,950. Пользуясь свойствами степеней и логарифмов, находим:

Lg N = 50lg(0,9) = 50 = 50(lg 9 – lg 10) » 50(0,9542 – 1) = 50(–0,0458) = –2,29.

Итак, lg N = –2,29. Следовательно,

N = 10–2,29 = 10 –3+0,71 = = 0,005125.

Значения lg 9 и 100,71 найдены с помощью таблиц деся­тичных логарифмов и антилогарифмов.

ТИПОВОЕ ЗАДАНИЕ

1. С помощью калькулятора постройте график функции

Y = 2 (20)

На отрезке [-4,4].

Указание: разбейте отрезок на 16—20 частей и найдите значения заданной функции в полученных точках. Результаты оформите в виде таблицы:

< Предыдущая		Следующая >