142. Методы определенного интегрирования

Правила неопределенного интегрирования можно применить для вычисления определенного интеграла.

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла будет следующей:

Пример 20. Найдите интеграл .

Решение. Обозначим , а .

Найдем, что , а .

Используем формулу интегрирования по частям:

Ответ. =.

Пример 21. Вычислите интеграл .

Решение. Обозначим , а . Найдем и .

Используем формулу интегрирования по частям:

Ответ. .

Формула замены переменной для определенных интегралов принимает вид: , где – непрерывная и дифференцируемая на интервале функция. При этом интервал не может быть ýже интервала , в котором интегрируется непрерывная функция .

Из этой формулы видно, что подынтегральное выражение преобразуется так же, как при замене переменной в неопределенном интеграле. Старые пределы интегрирования и связаны с новыми пределами интегрирования и так же, как старая переменная с новой переменной .

Пример 22. Найдите определенный интеграл .

Решение. Введем новую переменную: , тогда , откуда . Новые пределы интегрирования будут следующие:

При , ; при , .

Ответ. .

Для замены переменной в определенном интеграле часто используют формулу . Тогда новые пределы интегрирова-ния и определяются по формулам , а .

Пример 23. Найдите интеграл .

Решение. Введем новую переменную . Тогда , а пределы интегрирования вычисляем так: , .

Перепишем интеграл с новой переменной и вычислим его.

Ответ. .

Можно показать, что определенный интеграл по симметрич-ному пределу равен нулю, если подынтегральная функция нечетная, и равен , если подынтегральная функция четная: