140. Основные методы интегрирования

Рассмотрим некоторые методы интегрирования.

Замена переменной интегрирования (подстановка) является одним из важнейших методов вычисления интегралов.

Первый метод (Интегрирование методом замены перемен-ной). Если известно, что , то справедливо равенство где – дифференцируемая функция.

Пример 3. Найдите интеграл .

Решение. Сделаем замену переменной: , тогда , а Интеграл принимает вид табличного интеграла:

Ответ. .

Пример 4. Найдите интеграл .

Решение. Сделаем замену: , и найдем , тогда

Ответ. .

Пример 5. Найдите интеграл .

Решение. Сделаем замену: , и найдем , тогда

Ответ. .

Пример 6. Найдите интеграл .

Решение. Сделаем замену: , откуда получим , тогда .

Ответ. .

Пример 7. Найдите интеграл .

Решение. Сделаем замену: , тогда . Получим: .

Ответ. .

Второй метод (Метод разложения).

Если , а И Имеют первообразные, то

Пример 8. Найдите интеграл .

Решение. Запишем этот интеграл как алгебраическую сумму интегралов и найдем каждый из них отдельно:

Проверка. Возьмем производную от полученного результата:

Мы получили подынтегральную функцию. Значит, решение правильное.

Ответ. .

Пример 9. Найдите интеграл .

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, для чего разделим каждый член многочлена числителя на знаменатель и запишем результат как сумму интегралов:

Ответ. .

Если в подынтегральной функции наибольший показатель степени многочлена в числителе равен наибольшему показателю степени многочлена в знаменателе, то необходимо разделить числитель на знаменатель и представить интеграл в виде алгебраической суммы интегралов.

Пример 10. Найдите интеграл .

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию так, чтобы выделить целую часть дроби. Для этого в числителе прибавим и вычтем 4:

Полученный интеграл представим в виде суммы интегралов:

Здесь, , потому что .

Ответ. .

Если числитель дроби подынтегральной функции – это постоянное число, а знаменатель – это квадратный трехчлен, то знаменатель можно дополнить до полного квадрата, и интеграл сводится к табличному интегралу вида:

или .

Пример 11. Найдите интеграл .

Решение. В знаменателе дроби прибавим и вычтем 4, тогда интеграл будет иметь вид:

Перейдем к новой переменной , тогда и интеграл перепишем так:

Ответ. .

Пример 12. Найдите интеграл .

Решение. Преобразуем знаменатель и перепишем интеграл в виде:

. Перейдем к новой переменной ,

Тогда: .

Ответ. .

Третий метод (Интегрирование по частям). Формула интегрирования по частям имеет вид: .

Пример 13. Найдите .

Решение. Обозначим , , тогда , .

Из формулы интегрирования по частям имеем:

Ответ. .

Интегралы вида где – многочлен, можно взять по частям, если обозначить через .

Пример 14. Найдите .

Решение. Обозначим: тогда .

Из формулы интегрирования по частям имеем:

Ответ. .

Интегралы вида где – многочлен от , можно взять по частям, если обозначить .

Пример 15. Найдите

Решение. Обозначим: тогда . Из формулы интегрирования по частям имеем:

Ответ. .

Четвертый метод (интегрирование рациональных функций). Рациональные функции всегда интегрируются в элементарных функциях. Целая рациональная функция (многочлен) интегрируется так:

Интеграл дробной рациональной функции можно найти, представив его как сумму элементарных слагаемых.

Если степень многочлена числителя больше или равна степени многочлена знаменателя, то, разделив многочлен на многочлен , получим целую рациональную функцию и дробно-рациональную функцию . Степень многочлена будет меньше степени многочлена :

Интегрирование целой рациональной функции не составляет трудностей, а правильную рациональную дробь можно представить как сумму элементарных, всегда интегрируемых дробей следующих двух видов: и , где M и N – целые положительные числа.

Для того чтобы представить правильную рациональную дробь в виде суммы элементарных дробей, необходимо разложить ее знаменатель на простейшие множители.

1. Если уравнение имеет только действительные корни, и они разные, то получим все слагаемые вида :

2. Если уравнение имеет только действительные, но кратные корни, кратности , тогда:

3. Если уравнение не имеет действительных корней, но имеет одну пару комплексных сопряженных чисел , тогда .

4. Если уравнение имеет пары комплексных сопряженных чисел кратности T, тогда:

В вышеприведенные формулы входят неопределенные коэффициенты A, B, C, D, M и N. Для определения этих коэффициентов нужно составить систему уравнений, используя равенства коэффициентов при одинаковых степенях переменной Х в левой и правой частях данных формул.

В общем случае уравнение может иметь действительные и комплексно-сопряженные корни одновременно, и тогда в разложении правильной рациональной дроби будут присутствовать слагаемые всех приведенных видов.

Методику интегрирования дробно-рациональных функций рассмотрим на примерах.

Пример 16. Найдите интеграл .

Решение. Данная подынтегральная функция – это неправильная дробь (наибольшая степень переменной в числителе равна 3, а наибольшая степень переменной в знаменателе равна 2). Выделим целую часть дроби, для этого разделим числитель дроби на знаменатель дроби , получим:

Подынтегральное выражение представим в виде:

Так как корни уравнения – Это разные действительные числа , , то правильную дробь представим как сумму слагаемых: .

Найдем неизвестные коэффициенты А и В, для этого приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной в полученном равенстве. Приведем к общему знаменателю правую часть последнего равенства:

В равенстве знаменатель в левой и правой части одинаков: . Для того чтобы дроби были равны, числители тоже должны быть равны: . Поэтому, и . Мы получили систему двух уравнений, из которой и найдем коэффициенты и : Значит, , а все подынтегральное выражение можно записать так:

Таким образом, заданный интеграл можно представить в виде суммы интегралов, которые легко вычислить:

Проверка. Возьмем производную от полученного выражения:

Полученное выражение – это подынтегральная функция. Интеграл найден правильно.

Ответ. .

Пример 17. Найдите интеграл .

Решение. Подынтегральное выражение представляет собой правильную дробь. Разложим знаменатель дроби на множители и приравняем его к нулю: . Корнями данного уравнения будут два действительных числа: , и пара комплексных сопряженных чисел: . Поэтому подынтегральную дробь можно представить в виде суммы элементарных дробей: