133. Асимптоты графика

Асимптоты графика могут быть вертикальные (параллельные оси Oу) и невертикальные (горизонтальные и наклонные). Вертикальных асимптот может быть много. Например, для функции их бесконечное число (рис. 11.11).

Если , то прямая – это Вертикальная Асимптота графика.

Например, на рисунке 11.11 прямые вида – это вертикальные асимптоты графика функции .

Невертикальных асимптот не может быть больше двух (одна при и вторая при ).

Если прямая есть асимптота графика при , то и когда стремится к бесконечности, то стремится к нулю (рис. 11.12).

Из условия найдем значение углового коэффициента .

Разделив правую и левую часть равенства на получим , тогда .

Найдем предельное значение этого выражения при

.

Теперь из уравнения найдем .

Предельное значение B При будет равно:

.

Если существуют эти пределы и они конечны, то прямая является асимптотой графика функции . Если такие пределы не существуют, то невертикальных асимптот нет.

Аналогично можно показать, что если функция определена на интервале , то а . Прямая называется Наклонной асимптотой, если . Если , то прямая называется Горизонтальной асимптотой.

Пример 8. Найдите асимптоты графика функции .

Решение. Областью определения функции будет вся числовая ось, кроме точки .

В точке есть бесконечный разрыв. Прямая это вертикальная асимптота.

Уравнение невертикальных асимптот находим по формуле: где , . Получим:

; .

Тогда уравнение наклонной асимптоты будет .

Ответ: Вертикальная асимптота ; наклонная асимптота .

Ответьте на вопросы

1. При каких условиях график функции будет иметь вертикальные асимптоты?

2. Сколько вертикальных асимптот может иметь график функции ?

3. Каково условие существования невертикальных (наклонных) асимптот?

4. Напишите формулу углового коэффициента K для наклонной асимптоты функции .

5. Напишите формулу свободного члена B для наклонной асимптоты функции .

6. Сколько невертикальных (наклонных) асимптот может иметь график функции ?

7. Напишите формулу горизонтальной асимптоты.

< Предыдущая		Следующая >