132. Исследование функций на экстремум с помощью производных высших порядков

Рассмотрим непрерывную, дифференцируемую функцию и исследуем ее на экстремум с помощью Второй производной.

Если функция имеет первую и вторую производные, и в точке первая производная равна нулю , а вторая производная не равна нулю , то функция в этой точке имеет Максимум, если ; или Минимум, если .

Для того чтобы исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной, необходимо:

1) найти первую производную и критические точки функции , т. е. точки, в которых производная функции обращается в ноль или имеет разрыв;

2) найти вторую производную и исследовать знак второй производной в найденных критических точках:

– если вторая производная в критической точке отрицательна, то функция в этой точке имеет максимум;

– если вторая производная в критической точке положительна, то функция в этой точке имеет минимум;

– если вторая производная равна нулю, то данное правило для этой функции не применимо, и экстремум надо искать с помощью первой производной;

Вычислить значения функции в точках экстремумов.

Пример 5. Исследуйте на экстремум функцию .

Решение. 1. Найдем первую производную: . Приравняем ее к нулю и найдем критические точки: .

2. Найдем вторую производную: . Определим знак второй производной в критических точках: , следовательно, – точка максимума; и , тогда – точка минимума.

3. Вычислим значения функции в критических точках:

; .

Ответ. ; .

Рассмотрим непрерывную, дифференцируемую функцию и исследуем ее на экстремум с помощью производных высших порядков.

Если в некоторой точке первая производная функции равна нулю , и вторая производная тоже равна нулю , то исследование функции на экстремум в этой точке можно проводить с помощью производных более высокого порядка.

Для этого используется следующее Свойство непрерывной функции: "Если функция непрерывна и отлична от нуля в точке , то и в некоторой окрестности точки она отлична от нуля и имеет знак, совпадающий со знаком функции в этой точке".

Пусть функция в точке имеет равные нулю производные до (N–1) порядка включительно, а производная
N–го порядка непрерывна и не равна нулю:

, а .

Тогда, функция в точке имеет Максимум, если
и Минимум, если (при условии, что
n – четное число). Если N – нечетное число, то функция в точке не имеет экстремумов.

Пример 6. Исследуйте функцию на экстремум.

Решение. Заданная функция определена и положительна на всей числовой оси и обращается в ноль при .

Найдем первую производную: .

Производная обращается в ноль в критической точке .

Вторая производная и третья производная в точке также обращаются в ноль.

Четвертая производная в точке не равна нулю.

Порядок производной – это четное число, а знак производной . Следовательно, точка это точка минимума функции.

Ответ. В точке функция Имеет минимум.

Пример 7. Исследуйте функцию на экстремум.

Решение. Найдем первую производную в точке .

Вторая производная , третья производная и четвертая производная в точке тоже обращаются в ноль.

Пятая производная не равна нулю и положительна.

Порядок производной – это нечетное число. В точке функция не имеет экстремумов.

Ответ. Функция экстремумов не имеет.

Ответьте на вопросы

1. Как найти экстремум функции при помощи производных высших порядков?

2. Когда функция будет иметь max, а когда min, если N–ая производная ?

< Предыдущая		Следующая >