123. Производные высших порядков

Пусть функция имеет производную , которая тоже есть функция от . Тогда эту производную мы называем Производной Первого порядка или Первой производной. Но от полученной первой производной (функции) мы так же можем взять производную, которая будет называться Производной второго порядка Или Второй производной: .

Аналогично можно найти производные третьего, четвертого, … N-го порядка. Производные высших порядков обозначаются так:

– производная первого порядка ("Де игрек по де икс");

– производная второго порядка ("Де два игрек по де икс дважды");

– производная третьего порядка ("Де три игрек по де икс трижды");

– производная N-го порядка ("Де эн игрек по де икс эн").

Пример 14. Найдите пятую производную функции .

Решение.

Ответ. .

Если Y=U+V+…+W, то ее энная производная равна сумме энных производных функций U, V…W:

Формула для производной произведения может быть записана в виде формулы Лейбница:

Используя производные высших порядков, дифференцируемую функцию можно представить в виде многочлена N–ой степени.

Теорема Тейлора. Функция, дифференцируемая N+1 раз в некотором интервале, который содержит точку , может быть представлена в виде многочлена N–ой степени и остаточного члена :

Где есть остаточный член разложения

Можно показать, что остаточный член имеет более высокий порядок малости по сравнению с и функцию, которая задается одной формулой на всех участках изменения аргумента можно разложить в ряд Тейлора.