115. Предел и непрерывность функции
Построим график функции 
(рис. 9.1).
При приближении переменной 
к точке 
переменная 
приближается к точке 
. Говорят, что число 3 является пределом функции 
при , стремящемся к единице. Пишут: 
. Читают: "Лимит эф от икс при икс, стремящемся к единице, равен 3".
Рассмотрим интервал вблизи точки 
ограниченный бесконечно малой 
, это будет 
или 
. Это же можно записать и в форме 
.
Интервал 
называют 
– окрестностью точки А ( – "дельта").
Составим разность 
. Модуль этой разности 
меньше числа 
("эпсилон"), если 
.
Действительно, 
откуда . Значит, для любого 
можно найти 
(у нас 
) такое, что если 
, то всегда 
. На основании этого запишем новое определение предела.
Число 
называется Пределом функции при , стремящемся к 
, если для любого можно найти такое , что из 
следует 
.
Если функция 
имеет предел, когда Х стремится к А, оставаясь всегда меньше А, то говорят, что она имеет Предел слева, и пишут: 
.
Если функция 
имеет предел, когда стремится к , оставаясь всегда больше , то говорят, что она имеет Предел справа, и пишут: 
.
Например, функция 
имеет предел слева, равный 
, и предел справа, равный 1 (рис. 9.2).
Функция может иметь только один из пределов (слева или справа), или не иметь границ вообще.
Например, функция
имеет предел справа 
, а предел слева 
не существует, так как эта функция не определена для 
.
Функция может и не иметь вообще пределов в какой-то точке. Для функции 
предел 
не существует ни справа, ни слева.
Для решения задач по вычислению пределов и их применению полезно знать следующие основные теоремы о пределах.
Теорема 1. Если существуют пределы функций 
и 
при 
, то существует и предел их суммы, равный сумме пределов этих функций:
.
Теорема 2. Если существуют пределы функций 
и 
при , то существует и предел их произведения, равный произведению пределов этих функций:
.
Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
.
Теорема 3. Если существуют пределы функций и при , и 
, то существует и предел их отношения, равный отношению пределов этих функций:
.
Для нахождения пределов функций также как и для последовательностей, применяют теоремы о пределах суммы, произведения, частного, степени функций.
Рассмотрим решение некоторых примеров.
Пример 22. Найдите предел 
.
.
В этом примере, чтобы вычислить предел функции, можно подставить в нее 
, так как числитель и знаменатель стремятся к конечным пределам и предел знаменателя не равен нулю.
.
Ответ. 
.
Пример 23. Найдите предел 
.
Решение. 
.
Ответ. 
.
Пример 24. Найдите предел 
.
Решение. В данном случае числитель и знаменатель стремятся к нулю при 
. Разложим числитель на множители 
и сократим числитель и знаменатель на 
:
.
Ответ. 
.
Геометрически непрерывность функции в точке означает, что ее график можно провести через эту точку, не отрывая карандаш от плоскости чертежа.
Пример 25. Постройте графики следующих четырех функций и рассмотрите их поведение в окрестности точки :
1) 
, 2) 
, 3) 
, 4) 
.
Решение. 1) Найдем предел функции (рис. 9.3).
Для переменных 
предел слева равен 
.
Для переменных 
предел справа равен 
.
Предел функции в точке равен 
.
Значение функции в точке равно 
.
.
Предел функции слева равен пределу функции справа и равен пределу функции в точке.
Вывод: Предел функции при существует и равен значению функции в точке .
2) Найдем предел функции 
(рис. 94).
Для предел функции слева равен 
.
Для предел функции справа равен 
.
Предел функции в точке равен 
.
.
Предел функции слева равен пределу функции справа и равен пределу функции в точке, но в точке знаменатель функции равен нулю и функция неопределена.
Вывод: Предел функции существует и равен 4, но не равен значению функции в точке .
3) Найдем предел функции (рис. 9.5).
Для предел функции слева равен 
.
Для предел функции справа равен 
.
При функция неопределенна (не существует).
Вывод: Предел слева функции при Не равен пределу справа и функция 
в точке не существует.
4) Найдем предел функции 
(рис. 9.6).
Для предел функции слева равен 
.
Для предел функции справа равен 
.
При функция неопределенна (не существует).
Вывод: Предел функции, а также значение функции в точке не существует.
Ответ. Из рассмотренных примеров видно, что в точке непрерывна только функция .
Функция 
непрерывна в точке 
, если:
1) она определена в окрестности этой точки;
2) имеет предел, когда стремится к 
произвольно:
;
3) предел функции при 
равен значению функции в этой точке:
.
Если функция не является непрерывной в точке , эту точку называют Точкой разрыва функции.
В рассмотренных примерах 
является точкой разрыва функций 
и 
. Разрывы такого типа, как у функции 
Устранимы.
Устранить разрыв, значит, сделать функцию непрерывной. Для это можно сделать, если задать ее следующим образом: 
Такое задание называют Доопределением функции.
Устранить разрывы функций 
и 
нельзя. Такие неустранимые разрывы называются Скачками. Скачки бывают конечными (как у функции 
) и бесконечными (как у функции 
).
Если использовать понятия приращения аргумента 
и приращения функции 
, то можно дать еще одно определение непрерывности.
Функция называется Непрерывной в точке , если она определена в окрестности этой точки, и если приращение аргумента 
стремится к нулю, то и приращение функции 
также стремится к нулю.
или 
,
Откуда 
.
Функция называется Непрерывной в точке , если она определена в окрестности этой точки и предел функции при равен значению функции в этой точке:
.
Функция, непрерывная во всех точках интервала, называется Непрерывной в этом интервале.
Все элементарные функции непрерывны в области их определения.
Пример 26. Проверьте непрерывность функции 
в точках 
и .
Решение.
I. Проверим непрерывность функции в точке .
1. Функция определена в точке и ее значение в этой точке равно: 
.
2. Найдем пределы функции в окрестности точки :
А) слева 
;
Б) справа 
;
В) 
.
3. Предел функции в точке равен значению функции в этой точке. Функция непрерывна в этой точке.
II. Проверим непрерывность функции в точке .
1. В точке функция неопределена, так как знаменатель функции при обращается в ноль.
2. Найдем пределы функции в окрестности точки :
А) слева 
;
Б) справа ;
В) предел функции слева не равен ее пределу справа. В точке функция имеет неустранимый разрыв. Точка есть точка разрыва функции.
Ответ. В точке функция непрерывна, а в точке функция имеет неустранимый разрыв.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
