112. Совместное применение арифметической и геометрической прогрессии

Пример 15. Четыре числа составляют геометрическую прогрессию. Если из первого числа вычесть 11, из второго 1, из третьего 3, а из четвертого 9, то получится арифметическая прогрессия. Найдите эти числа.

Решение. Пусть ; ; ; – члены геометрической прогрессии. Пусть ; ; ; – соответствующие члены арифметической прогрессии. Тогда ; ; и ; ; ; .

Используем свойство арифметической прогрессии:

; .

Используя полученные выше равенства, запишем систему двух уравнений с двумя неизвестными и :

Запишем геометрическую прогрессию: ; ; .

Ответ. 27; 9; 3; 1.

Пример 16. Найдите четыре числа, из которых первые три составляют геометрическую прогрессию, а последние три – арифметическую, если сумма крайних чисел равна 35, а сумма средних равна 30.

Решение. Пусть числа, которые нужно найти, – это: , , , . Тогда

Перепишем условие задачи в виде: .

Выразим через и все заданные члены:

; ; ; .

Запишем систему уравнений из условия и свойства арифметической прогрессии :

Решим систему способом деления:

и .

Получим два решения:

1) ; ;

2) ; .

Ответ. 1) ; ; ; . 2) ; ; ; .

Пример 17. Три числа составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Если ко второму числу прибавить 2, то полученные числа составят арифметическую прогрессию, а если затем к третьему числу прибавить 9, то прогрессия опять станет геометрической. Найдите эти числа.

Решение. Запишем три прогрессии по условию задачи:

1) :: ; ; ; 2) : ; ; ; 3) :: ; ; .