110. Арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и постоянного числа , где
– это разность прогрессии:
,
.
Общий вид арифметической прогрессии:
;
;
; ...;
; ... .
Очевидно, что прогрессия является возрастающей, если , и убывающей, если
.
Например, 2; 5; 8; 11; ... () – возрастающая прогрессия;
12; 10; 8; 6; ... () – убывающая прогрессия.
Если заданы первый член и разность
, то
-Й член прогрессии (любой член) Определяют по формуле:
.
Сумма первых членов Арифметической прогрессии вычисляется по формулам:
или
,
Где – количество членов прогрессии.
Свойства арифметической прогрессии.
1. Каждый средний член равен полусумме равноотстоящих от него членов: , (
).
2. В конечной арифметической прогрессии суммы двух членов, равноотстоящих от ее концов, равны между собой и равны сумме крайних членов:
;
;
; ...;
; ... ;
; ...;
;
;
.
Пример 1. Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии:
3; 7; 11: 15; ... .
Решение. Найдем разность прогрессии: . Тогда
.
Ответ. .
Пример 2. Разность арифметической прогрессии равна 3, а сумма первых ее шести членов равна 57. Найдите ,
.
Решение. ;
. Тогда
;
.
Ответ. ;
.
Пример 3. Третий член арифметической прогрессии равен 6, а седьмой 14. Сколько членов нужно взять, чтобы их сумма была равна 110?
Решение. ;
. Запишем
и
, используя формулу
и вычислим
и
:
;
.
Подставим значения и
в формулу
и получим уравнение для вычисления
:
;
. Значение
– не будет решением, так как
.
Ответ. .
Пример 4. Найдите арифметическую прогрессию, если сумма ее первых членов
.
Решение. По условию: ;
.
можно найти также как сумму первого и второго членов арифметической прогрессии, тогда:
.
Отсюда .
Ответ. ,
или
.
Пример 5. Найдите арифметическую прогрессию, если сумма первых трех ее членов равна 15, сумма трех последних членов равна 39, а сумма всех членов равна 63.
Решение. (из условия).
Сложим равенства: . По второму свойству арифметической прогрессии суммы в скобках равны между собой:
. Найдем число членов прогрессии, используя формулу:
. Подставим значение
в исходную систему, получим:
и
. Запишем прогрессию, зная
и
.
Ответ. 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15.
Пример 6. Между числами 1 и 25 напишите пять чисел, которые с данными числами составляют арифметическую прогрессию.
Решение. ;
;
. Но,
.
Ответ. 1; 5; 9; 13; 17; 21; 25; ...
< Предыдущая | Следующая > |
---|