103. Основные методы решения тригонометрических уравнений

Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений. Эти уравнения сводятся к простейшим тригоно-метрическим уравнениям, решение которых мы уже рассмотрели.

1. Метод приведения к одной функции

При решении уравнений часто используется основное тригонометрическое тождество , а также замена переменных.

Пример 18. Решите уравнение .

Решение. Заменим на , получим:

Сделаем замену , получим квадратное уравнение . Найдем решения:

А) или ;

Б) или .

Ответ. .

2. Решение уравнений, однородных относительно и , а также приводимых к однородным

Однородное тригонометрическое уравнение относительно и – это такое уравнение, каждый член которого имеет одинаковую степень и , а правая часть уравнения равна нулю.

Так, – это однородное уравнение -й степени.

При решении однородных уравнений -й степени использу-ется деление каждого члена уравнения на . При этом исходное уравнение сводится к уравнению относительно . Необходимо проверять, не приведет ли такое деление к потере решений: 1) если , то потери решений не будет; 2) если , то такое деление приведет к потере корней. Следовательно, в ответ нужно включить и решения уравнения , т. е. , .

Пример 19. Решите уравнение .

Решение. Разделим обе части исходного однородного уравнения первой степени на , получим:

Ответ. .

Пример 20. Решите уравнение .

Решение. Разделим обе части исходного однородного уравнения второй степени на . Получим квадратное уравнение относительно : . Найдем решения этого уравнения относительно :

А) ;

Б) ,

Ответ. .

Пример 21. Решите уравнение .

Решение. Исходное уравнение не является однородным, но его можно привести к однородному при помощи замены . Получим:

Разделим все члены уравнения на . Получим:

Ответ. .

3. Метод разложения на множители

Использование этого метода основано на том, что уравнение равносильно совокупности уравнений в области определения уравнения .

Пример 22. Решите уравнение .

Решение. .

Решим совокупность уравнений:

Если приравнять и , то увидим, что эти решения образуют одно множество: .

Ответ. .

При решении уравнений методом разложения на множители возможно появление посторонних корней. Чтобы исключить ошибки в ответе, рекомендуется находить ОДЗ.
В ответе необходимо исключить решения, не удовлетворяющие ОДЗ.

Пример 23. Решите уравнение .

Решение. Найдем ОДЗ: . Решим совокупность уравнений: .

Заметим, что решения не входят в ОДЗ (ОДЗ: ). Поэтому ответом будут только решения .

Ответ. .

4. Метод понижения степени

При решении уравнений используют формулы понижения степени: ; .

Пример 24. Решите уравнение .

Решение. Используем формулы понижения степени, получим:

. Применим к первым двум слагаемым формулу преобразования суммы одноименных тригонометрических функций в произведение: .

Получим, .

Решим совокупность уравнений:

Ответ. .

Пример 25. Решите уравнение .

Решение. Степень можно понизить выделением квадрата суммы:

Используя формулы и , получим:

Ответ. .

5. Метод преобразования произведения функций в сумму

При решении уравнений целесообразно использовать следующие формулы:

;

Пример 26. Решите уравнение .

Решение. Используем формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, получим:

Теперь используем формулу и выполним обратное преобразование. Получим: . Решим совокупность уравнений:

Решения являются подмножеством решений (при решения и совпадают). Поэтому в ответе запишем только .

Ответ. .

6. Метод введения вспомогательного аргумента

Этот метод удобно использовать при решении уравнений вида , где , .

Разделим обе части уравнения на первый коэффициент: . Теперь заменим через ( – это вспомогательный аргумент или вспомогательный угол), т. е.: .

Подставим в уравнение вместо значение и освободим левую часть от знаменателя:

Уравнение имеет решение только при .

Определим через коэффициенты , , :

Аналогично найдем: .

Подставим значение в уравнение . Получим:

При решении тригонометрических уравнений методом введения вспомогательного аргумента используют следующие формулы:

1) ;

2) ; ;

3) .

Пример 27. Решите уравнение .

Решение. В нашем случае , , . Найдем . Тогда исходное уравнение можно привести к уравнению .

Ответ. .

Пример 28. Решите уравнение .

Решение. Вспомогательный угол можно ввести следующим образом: , , тогда .

Подставим значения и в уравнение. Получим:

Ответ. .

Пример 29. Решите уравнение .

Решение. По формулам и найдем значения и .

Преобразуем исходное уравнение:

Мы знаем, что , , , тогда или , или . Поэтому решение уравнения можно записать так:

А) ; или

Б) ; или

В) .

Ответ. .

7. Метод универсальной подстановки

При использовании метода универсальной подстановки значения , , и удобно выражать через по следующим формулам:

; ; ; .

Использование универсальной подстановки возможно при , т. е. . Поэтому при решении нужно проверять, не являются ли числа вида , решениями исходного уравнения.

Пример 30. Решите уравнение .

Решение. Заменим и на , получим:

Тогда из уравнения получаем: .

Из уравнения получаем: .

Проверим, удовлетворяют ли исходному уравнению числа . Для этого подставим в исходное уравнение: ; значит, числа не являются решениями исходного уравнения.