103. Основные методы решения тригонометрических уравнений
Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений. Эти уравнения сводятся к простейшим тригоно-метрическим уравнениям, решение которых мы уже рассмотрели.
1. Метод приведения к одной функции
При решении уравнений часто используется основное тригонометрическое тождество , а также замена переменных.
Пример 18. Решите уравнение .
Решение. Заменим на
, получим:
.
Сделаем замену , получим квадратное уравнение
. Найдем решения:
А) или
;
Б) или
.
Ответ. .
2. Решение уравнений, однородных относительно и
, а также приводимых к однородным
Однородное тригонометрическое уравнение относительно и
– это такое уравнение, каждый член которого имеет одинаковую степень
и
, а правая часть уравнения равна нулю.
Так, – это однородное уравнение
-й степени.
При решении однородных уравнений -й степени использу-ется деление каждого члена уравнения на
. При этом исходное уравнение сводится к уравнению относительно
. Необходимо проверять, не приведет ли такое деление к потере решений: 1) если
, то потери решений не будет; 2) если
, то такое деление приведет к потере корней. Следовательно, в ответ нужно включить и решения уравнения
, т. е.
,
.
Пример 19. Решите уравнение .
Решение. Разделим обе части исходного однородного уравнения первой степени на , получим:
.
Ответ. .
Пример 20. Решите уравнение .
Решение. Разделим обе части исходного однородного уравнения второй степени на . Получим квадратное уравнение относительно
:
. Найдем решения этого уравнения относительно
:
А) ;
Б) ,
Ответ. .
Пример 21. Решите уравнение .
Решение. Исходное уравнение не является однородным, но его можно привести к однородному при помощи замены . Получим:
.
Разделим все члены уравнения на . Получим:
.
Ответ. .
3. Метод разложения на множители
Использование этого метода основано на том, что уравнение равносильно совокупности уравнений
в области определения уравнения
.
Пример 22. Решите уравнение .
Решение. .
Решим совокупность уравнений:
.
Если приравнять и
, то увидим, что эти решения образуют одно множество:
.
Ответ. .
При решении уравнений методом разложения на множители возможно появление посторонних корней. Чтобы исключить ошибки в ответе, рекомендуется находить ОДЗ.
В ответе необходимо исключить решения, не удовлетворяющие ОДЗ.
Пример 23. Решите уравнение .
Решение. Найдем ОДЗ: . Решим совокупность уравнений:
.
Заметим, что решения не входят в ОДЗ (ОДЗ:
). Поэтому ответом будут только решения
.
Ответ. .
4. Метод понижения степени
При решении уравнений используют формулы понижения степени: ;
.
Пример 24. Решите уравнение .
Решение. Используем формулы понижения степени, получим:
. Применим к первым двум слагаемым формулу преобразования суммы одноименных тригонометрических функций в произведение:
.
Получим, .
Решим совокупность уравнений:
.
Ответ. .
Пример 25. Решите уравнение .
Решение. Степень можно понизить выделением квадрата суммы:
.
Используя формулы и
, получим:
.
Ответ. .
5. Метод преобразования произведения функций в сумму
При решении уравнений целесообразно использовать следующие формулы:
;
;
.
Пример 26. Решите уравнение .
Решение. Используем формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, получим:
.
Теперь используем формулу и выполним обратное преобразование. Получим:
. Решим совокупность уравнений:
.
Решения являются подмножеством решений
(при
решения
и
совпадают). Поэтому в ответе запишем только
.
Ответ. .
6. Метод введения вспомогательного аргумента
Этот метод удобно использовать при решении уравнений вида , где
,
.
Разделим обе части уравнения на первый коэффициент: . Теперь заменим
через
(
– это вспомогательный аргумент или вспомогательный угол), т. е.:
.
Подставим в уравнение вместо значение
и освободим левую часть от знаменателя:
.
Уравнение имеет решение только при .
Определим через коэффициенты
,
,
:
.
Аналогично найдем: .
Подставим значение в уравнение
. Получим:
.
При решении тригонометрических уравнений методом введения вспомогательного аргумента используют следующие формулы:
1) ;
2) ;
;
3) .
Пример 27. Решите уравнение .
Решение. В нашем случае ,
,
. Найдем
. Тогда исходное уравнение можно привести к уравнению
.
Ответ. .
Пример 28. Решите уравнение .
Решение. Вспомогательный угол можно ввести следующим образом: ,
, тогда
.
Подставим значения и
в уравнение. Получим:
.
Ответ. .
Пример 29. Решите уравнение .
Решение. По формулам и
найдем значения
и
.
Преобразуем исходное уравнение:
.
Мы знаем, что ,
,
, тогда
или
, или
. Поэтому решение уравнения можно записать так:
А) ; или
Б) ; или
В) .
Ответ. .
7. Метод универсальной подстановки
При использовании метода универсальной подстановки значения ,
,
и
удобно выражать через
по следующим формулам:
;
;
;
.
Использование универсальной подстановки возможно при , т. е.
. Поэтому при решении нужно проверять, не являются ли числа вида
,
решениями исходного уравнения.
Пример 30. Решите уравнение .
Решение. Заменим и
на
, получим:
.
Тогда из уравнения получаем:
.
Из уравнения получаем:
.
Проверим, удовлетворяют ли исходному уравнению числа . Для этого подставим
в исходное уравнение:
; значит, числа
не являются решениями исходного уравнения.
Ответ. .
Пример 31. Решите уравнение .
Решение. Найдем ОДЗ уравнения: .
Используем подстановку
:
.
Дискриминант трехчлена меньше нуля
, следовательно:
.
Тогда
Проверим, удовлетворяет ли значение исходному уравнению:
.
Ответ. .
8. Метод подстановки
Подстановку удобно выполнять, когда в уравнении есть сумма (разность) и произведение функций синуса и косинуса.
Для того чтобы выразить через произведение синуса на косинус, возведем в квадрат сумму
, а затем определим произведение
через
:
.
Аналогично для
.
Следовательно, имеем две подстановки:
1) ; 2)
.
Пример 32. Решите уравнение .
Решение. Используем вторую подстановку:
.
Тогда ,
. Но
, поэтому
:
.
Для решения этого уравнения заменим через
и по формуле
преобразуем разность синусов в произведение:
.
Ответ. .
< Предыдущая | Следующая > |
---|