102. Простейшие тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения – это уравнения, в которых неизвестная величина находится под знаком тригонометрических функций.

Простейшие тригонометрические уравнения – это уравнения вида , , , .

Решить простейшее тригонометрическое уравнение – это значит найти множество всех углов, для которых функция равна .

Если тригонометрическое уравнение не является простейшим, то его нужно привести к одному или нескольким простейшим уравнениям. Для этого используют тождественные преобразования.

Рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений.

1. Уравнение .

Мы знаем, что , поэтому уравнение имеет решение только, при .

Известно, что – это ордината единичного вектора. Поэтому, отложим величину на оси и изобразим тригонометрическую окружность. Тогда получим два угла ( и ), синус которых равен (рис. 8.9).

С учетом периодичности синуса получим два множества решений: и , где .

Приведем подобные члены в выражении для , получим: , .

Объединим полученные множества решений ( – четные числа; – нечетные числа), получим:

, ; .

При четном , получим множество решений ; при нечетном получим множество решений . Однако, если , , то этой формулой пользоваться нецелесообразно. Рассмотрим соответствующие решения, используя тригонометрическую окружность (рис. 8.10).

Пример 13. Решите уравнение .

Решение. .

Ответ. , .

Пример 14. Решите уравнение .

Решение.

Запишем результат в виде двух множеств решений:

При , тогда , ;

При , тогда

, .

Ответ. , .

2. Уравнение .

Уравнение имеет решение при . Рассмотрим тригонометрическую окружность. Отложим на оси величину и получим два угла ( и ), косинус которых равен (рис. 8.11).

С учетом периодичности косинуса получим два множества решений: и , .

Эти два множества можно объединить в одно:

, где .

Для частных случаев ; :

А) ;

Б) ;

В) (рис. 8.12).

Пример 15. Решите уравнение .

Решение. При решении уравнений вида где важно помнить, что: . Поэтому запишем:

Ответ. .

3. Уравнения и .

Известно, что функции тангенс и котангенс – функции неограниченные. Рассмотрим тригонометрическую окружность. Проведем оси тангенсов и котангенсов. Отложим на них величину . Найдем значения углов при различных значениях (рис. 8.13).