098. Определение тригонометрических функций
Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале плоской системы координат (рис. 8.4). Такая окружность называется Единичной окружностью Или Тригонометрической окружностью.
Отметим на оси справа от начала координат точку
, лежащую на тригонометрической окружности:
.
Радиус называется начальным радиусом. Точка
переходит в точку
при повороте начального радиуса
около центра
на угол
(
– это единичный радиус-вектор).
Синус угла – это отношение ординаты точки к радиусу окружности:
.
Косинус угла – это отношение абсциссы точки к радиусу окружности:
.
Радиус единичной окружности равен единице , поэтому:
;
. Синус угла
– это ордината единичного вектора; косинус угла
– это абсцисса единичного вектора.
Ось называют Осью синусов, а ось
называют Осью косинусов.
Тангенс угла – это отношение ординаты точки
к ее абсциссе:
.
Прямая называется Осью тангенсов (рис. 8.5).
Тангенс угла равен ординате соответствующей точки
на оси тангенсов.
Котангенсом угла называется отношение абсциссы точки
к ее ординате:
.
Прямая называется Осью котангенсов (рис. 8.6)
Котангенс угла равен абсциссе соответствующей точки
на оси котангенсов.
Кроме функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса используются еще две тригонометрические функции угла – это секанс и косеканс.
Секанс угла – это величина, обратная
:
;
.
Косеканс угла – это величина, обратная
:
;
.
Рассмотрим знаки тригонометрических функций ,
,
,
в различных четвертях (квадрантах) (рис. 8.7)
Пример 3. Определите знак выражений: а) ; б)
.
Решение. Отметим углы в 2 и 6 радиан на тригонометрической окружности (рис. 8.8)
Мы знаем, что и
Радиан. Поэтому
;
. Поэтому угол
оканчивается во II четверти, а угол
оканчивается в III четверти. Тогда
;
.
Ответ. а) ; б)
.
Рассмотрим значения тригонометрических функций некоторых углов (табл. 8.2).
Таблица 8.2 – Значения тригонометрических функций некоторых углов
Символ (бесконечность) означает, что
или
при соответствующих значениях аргумента не определены и принимают сколь угодно большие значения по модулю.
Пример 4. Найдите значение выражений:
А) ;
Б) .
Решение. а)
Б) .
Ответ. а) ; б)
.
Пример 5. Упростите выражение: .
Решение. .
Ответ. .
< Предыдущая | Следующая > |
---|