090. Показательные уравнения. Методы их решения

Показательные уравнения – это такие уравнения, в которых переменная содержится в показателе степени.

Например, ; ; – это показательные уравнения.

Решение показательных уравнений основано на свойствах показательной функции. Рассмотрим решение некоторых видов показательных уравнений разными методами.

I. Метод приведения к одинаковому основанию

А) , , .

Если равны степени с одинаковыми положительными основаниями (не равными единице), то равны и показатели степеней, т. е. .

Б) , , .

Степень с положительным основанием равна единице, если показатель этой степени равен нулю, т. е. , тогда , значит .

Пример 10. Решите уравнение .

Решение. Приведем обе части уравнения к одинаковому основанию "2" и решим полученное линейное уравнение:

Ответ. .

Пример 11. Решить уравнение .

Решение. .

Ответ. .

II. Метод деления обеих частей уравнения на Или

, , , , .

Пример 12. Решите уравнение .

Решение. .

Ответ. .

III. Метод логарифмирования обеих частей уравнения по одному и тому же основанию

, , , , .

Для того чтобы найти решения этого уравнения, нужно сделать преобразования, а потом логарифмировать обе части уравнения по одному и тому же основанию.

Пример 13. Решите уравнение .

Решение. Преобразуем уравнение: . Прологарифмируем обе части уравнения по основанию :

Ответ. .

Пример 14. Решите уравнение .

Решение. Прологарифмируем исходное уравнение по основанию "7" (можно логарифмировать и по основанию "8" или по любому положительному основанию, не равному "1").

. Решим это квадратное уравнение, найдем его корни: . Это и будут решения исходного уравнения.

Ответ. .

IV. Метод вынесения общего множителя за скобки

Пример 15. Решите уравнение .

Решение. Преобразуем уравнение: .

Вынесем общий множитель за скобки:

Ответ. .

V. Метод приведения к квадратному уравнению

А) Уравнения вида (, ) с помощью подстановки можно привести к квадратному уравнению .

Пример 16. Решите уравнение .

Решение. Пусть , тогда . Подставим эти значения в исходное уравнение, получим:

Ответ. .

Б) Уравнения вида , где приводят к квадратным уравнениям путем замены: или .

Пример 17. Решите уравнение .

Решение. Делаем замену: . Получим:

Тогда исходное уравнение эквивалентно уравнению:

Ответ. .

VI. Метод введения новой переменной

Уравнения вида , где , , , , а сумма показателей степеней чисел и в каждом члене равна , решаем делением каждого члена уравнения на ():

Полученное уравнение решаем методом замены перемены , что приводит к уравнению . Его корнями будут , , ..., . Решая уравнения: , ..., , получим значений .

Пример 18. Решите уравнение .

Решение. Запишем данное уравнение так: .

Разделим каждый член уравнения на , получим: .

Пусть , , тогда

Уравнение не имеет действительных корней, т. к. его дискриминант менше нуля . Поэтому, .

Ответ. .

Уравнения вида называются Показательно-степенными.

При решении таких уравнений проверяют случаи, когда основание степени может быть равно: ; ; , потому что корни этих трех уравнений могут быть корнями данного уравнения.

Если ; ; , то используем условие равенства степеней с равными основаниями: . В этом случае обязательно нужно сделать проверку, т. к. левая или правая части уравнения могут не иметь смысла.