082. Неравенства, которые содержат переменную под знаком модуля

При решении неравенств, которые содержат переменную под знаком модуля, используют определение модуля выражения:

Поэтому неравенство, которое содержит переменную под знаком модуля, равносильно двум системам неравенств, которые можно записать в виде пересечения или объединения двух неравенств.

1. Если , то .

2. Если , то .

При решении неравенств, содержащих более одного модуля, также используют метод интервалов.

Пример 15. Решите неравенство .

Решение. По определению модуля имеем: , поэтому неравенство выполняется для любого действительного т. е. .

Ответ. .

Пример 16. Решите неравенство .

Решение. .

Ответ. .

Пример 17. Решите неравенство .

Решение. По определению модуля имеем: поэтому неравенство решений не имеет.

Ответ. Æ.

Пример 18. Решите неравенство .

Решение.

Ответ. .

Пример 19. Решите неравенство .

Решение. Поскольку , то исходное неравенство можно записать как объединение систем: и . Решим эти системы и объединим решения а) и б).

.

.

Ответ. .

Пример 20. Решите неравенство .

Решение. Рассмотрим три случая (раскроем модули на интервалах):

1) ;

2) ;

3) .

Объединим полученные решения, получим: .

Ответ. .

Пример 21. Решите неравенство .

Решение. Сделаем замену: Получим:

. Тогда: .

Ответ. .

< Предыдущая		Следующая >