040. Уравнения высших степеней

Уравнение вида – это Алгебраическое уравнение степени .

Если , то уравнение называется уравнением высшей степени. Например, – это уравнение третьей
степени.

Алгебраическое уравнение степени имеет не более действительных корней.

Если тогда для уравнения справедлива теорема Безу.

Теорема Безу. Многочлен делится без остатка на двучлен тогда и только тогда, когда – это корень многочлена .

Например, многочлен делится без остатка на двучлен т. к. – это корень уравнения .

Если – многочлен с целыми коэффициентами, то любой целый корень многочлена является делителем свободного члена .

Например, – многочлен второй степени; его корни и – это делители свободного члена (числа 12).

Если существует хотя бы один целый корень уравнения, то Уравнения высших степеней решают так:

1) находят множество делителей свободного члена ;

2) проверяют, какие из этих делителей являются корнями уравнения (используя теорему Безу);

3) находят частное от деления на , где – корень уравнения ;

4) записывают как многочлен степени : , где – многочлен степени ;

5) проверяют, являются ли корни многочлена также и корнями исходного уравнения.

Пример 18. Решите уравнение .

Решение. 1) Находим множество делителей свободного члена: это .

2) Проверяем, какой из делителей является корнем заданного уравнения.

При , получим: – это корень заданного уравнения.

При , получим: – это не корень заданного уравнения.

3) Находим частное от деления многочлена на .

Получаем .

4) Записываем частное как многочлен степени :

Ответ. .

Пример 19. Решите уравнение .

Решение. 1) Записываем делители свободного члена: ; ; ; ;;; ; . Подбором находим целый корень уравнения.

2) Подставляем найденные делители в исходное уравнение.

При , получим: – не является корнем заданного уравнения.

При , получим: – является корнем заданного уравнения.

3) По теореме Безу многочлен делится без остатка на . Выполним деление "углом":

Представим многочлен в виде произведения двух сомножителей: .

Ответ. .

Пример 20. Решите уравнение .

Решение. 1) Множество делителей свободного члена 1 – это . Но не являются корнями исходного уравнения.

2) Найдем рациональные корни уравнения в виде , где – делитель числа 1; – делитель числа 2 (2 – это старший коэффициент уравнения). и – это взаимно простые числа. Такими корнями могут быть: .