53. Плохая погода

Задачу «В вазе лежат 6 яблок и 12 груш. Сколько в ней плодов?» решают в 1-м классе: 6+12 = 18. Если НАдо выбрать один из лежащих в вазе плодов, то это можно сделать 18 способами. Вообще справедлив Следующий ПриНЦип комбинаторики, называемый «Правилом сумМЫ».

Если объект а можно выбратЬ т способами, а обЪект B выбрать П способами, то ВЫбор «а или B» можно сделать т + П способами.

На языке теории множеств это утверждЕНие оЗНачаЕТ, что Если Т-множество А не пересекается с П-множеством В, то их объединение содержит т + П элементов.

Сложнее получить ответ, если мНОжества А и В могут пЕРесекаться. Например, Невозможно определить чИсЛо дНЕй с плохой погодой из рассказа «Когда я отдыхАЛ В Сентябре в ПалаНГе, то 12 дней шел дождь, 8 днеЙ дуЛ СильНЫй ветер, а 4 дня было холодно». Может быть, плохая погода была 24 дНЯ (12 + 8 + 4 = 24), а может быть, всего 12 дней НЕльзя было купаться, так как шел ДОЖдЬ, причем в некоторые из этих дней был, кроме того, силЬнЫй ветер, а в некоторые — еще И холодно. Чтобы решИТь такую Задачу, надо провести анализ, похожий на аНАлИз отчета старосты, а для этого нужны дополнительные сВЕденИЯ.

Итак, мы хотим решить такую задачу: Найти число ЭлЕментов в объединении нескольких множеств, ЗНая число ЭЛементов в каждом из них, а также число элементов в каждом из пересечений ЭТих множеств по дВА, по три и т. Д.

Начнем со случая, когда у нас всего два множества. Определить число плохих дней из рассказа «12 дней шел дождь, 8 дней дул сильный ветер, причем 5 дНЕй были и дождливы и ветрены» уже НЕсложно. Если мы сложим число дождливыХ и ветреных дней, то в сумме 12+8 дни, когда погода была плоха по обеим причиНАм, окажутся учтенными дважды. Поэтому, чтобы определить количество дней с плохой погодой, Надо из суммы 12+8 вычесть 5. Ответ даст искомое число.

Вообще если множества А и В содержат соответствеННО M и N ЭЛементов, а их пересечение содержит Р элементов, то объединение мНОжеств А и В имеет Т + П – Р Элементов. Это утверждение можно записать так:

Разберемся в случае, когда у нас три множЕСтва А, В И С. Если ЭТи множества перекрываются лишь попарно (т. Е. пересечение всех трех множеств пусТО), то надо считать так же, как и выше: сначала сложить мощности всех трех множеств, а потом вычесть мощности ВСех пересечений множеств по два (число таких пересеЧЕний тоже равНО трем — ). Но ЕСли множество непусто, то его элементы окажутся совсем неучтенными: сначала их три раза учиТЫвают, когда складывают мощности каждого из трех множеств А, В, С, а потом те же три раза учитывают, ОТнимая мощности пересечений мНОжеств по два. Эти две операции гасят друг друга и полученный ответ окаЖЕтся меньше истинного как раз на число элементов в . ЗНАчИТ, это число и надо еще добавИТь

Теперь уже Ясно, как выглядит общее правило: Для Любых множеств справедливо РавенсТво

(13)

Иными словами, если мы пересекаем НЕчетное количеств множеств, то мощность этого пересечения берется со ЗнаКом «плюс», а если четное — то со ЗНаком «миНУс», Причем Учитываются всевозможНЫе пересечения заданных K множеств

Теперь мы можем решить Задачу о плохой ПОгодЕ, Только дополНИв ее условие необходимЫМи сведениям. Итак, пусть число дождливых дней равНЯлось 12, ВетрЕнных — 8, холодНЫх — 4, дождливых и ветреных — 5, дождливых и холодНЫх — 3, ветреных и холодных — 2 и, НАкоНЕц, дождливых, ветреНЫх и холодных — 1. Тогда Общее ЧИсло плохих дНЕй вычисляется ТаК:

< Предыдущая		Следующая >