06. Функциональные ряды

Ряд , членами которого являются функции , называется Функциональным.

Область сходимости функционального ряда

Множество значений X, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Степенные ряды

Функциональный ряд вида

Где A0, A1, A2, …, An , … , Х0 – числа, называется Степенным рядом. Числа A0, A1, A2, …, An , … называются коэффициентами этого ряда.

Теорема Абеля. Пусть степенной ряд сходится при X1 ≠ 0 и расходится при X2. Тогда он сходится при всех X удовлетворяющих условию: И расходится при всех X, удовлетворяющих условию: .

Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда

Число R Называется радиусом сходимости степенного ряда, если ряд сходится для всех X, удовлетворяющих условию и расходится для всех X, удовлетворяющих условию . Интервал (X0 – R, X0 + R), где R – радиус сходимости ряда называется интервалом сходимости данного степенного ряда. Внутри интервала сходимости степенной ряд сходится, а вне него расходится. На концах интервала сходимости ряд может сходиться, а может и расходиться. Концы интервала сходимости ряда исследуются особо. Областью сходимости степенного ряда является интервал сходимости данного ряда вместе с концами этого интервала, в которых данный ряд сходится.