25. Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью

Рассмотрим теперь линейное уравнениЕ С постоянными коэффициентами А1 и А2 и с правой частью, т. е.

. (*)

Нам уже известно (см. п. 3.1., II), что общее решение такого уравнения слагается из общего решения соответствующего уравнения без правой части и какого-нибудь частного решения уравнения с правой частью.

Поскольку общее решение уравнения без правой части мы находить умеем, то остается только найти частное решение данного уравнения (*). Сначала мы рассмотрим некоторые частные случаи, в которых решение находится методом неопределенных коэффициентов, а потом укажем и общий метод.

1. Пусть правая часть уравнения (*) имеет вид

Где Р(Х) — Многочлен. Тогда уравнение (*) имеет частное решение вида

Где Q(Х) — Многочлен той же степени, что и Р(Х), причем если число Т не является корнем характеристического уравнения , то K=0, а если является, то K — кратность этого корня.

Принимая решение в указанной форме, мы находим неизвестные коэффициенты многочлена Q(Х) по методу неопределенных коэффициентов.

Правило сохраняет свою силу и тогда, когда M=0, т. Е. в правой части стоит только многочлен; в этом случае надо проверить, не является ли число 0 корнем характеристического уравнения. В частных случаях многочлен Р(Х) может быть нулевой степени т. е. постоянной величиной.

Приведем примеры, которые помогут Уяснить указанныЙ прием отыскания частного решения.

Примеры.

1)

Здесь характеристическое уравнение

Имеет двукратный корень . Значит, общее решение соответствующего однородного уравнения будет равно

Правая часть уравнения имеет рассматриваемую форму, причем Т=0, . Так как число 0 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде

Где А, В — Постоянные, подлежащие отысканию.

Дифференцируя и подставляя в дифференциальное уравнение, находим:

Приравнивая коэффициенты в обеих частях равенства

Получим . Итак, частным решением заданного уравнЕНия является функция

А его общим решением — функция

.

После того, как найдено общее решение уравнения, находим по начальным условиям частное. Для этого найдем

Тогда

Отсюда Искомым решением будет функция

2) .

Здесь характеристическое уравнение

Имеет корни . Значит, общее решение соответствующего уравнения без правой части будет иметь вид

Правая часть имеет рассматриваемую форму, причем Р(Х)=3, т. е. является многочленом нулевой степени; число Т=2 не является корнем характеристического уравнения, поэтому K=0. Частное решение ищем в виде

,

Где А — Постоянная, подлежащая отысканию.

Тогда . Подставляя значения У, у' и У" в уравнение, получим:

Откуда Следовательно, частным решением будет функция а общим

3)

Здесь левая часть уравнения такая же, как в примере 2. Поэтому общее решение соответствующего уравнения без правой части заПИшем сразу:

Так как теперь Т=1, т. Е. Т является однократным корнем характеристического уравнения, то K=1; Р(Х)=х — Многочлен первой степени. Поэтому частное решение ищем в виде

Дифференцируем дважды:

И подставляем в уравнение:

Отсюда

Т. е.

Итак, мы нашли частное решенИЕ , а следовательно, и общее:

2. Пусть правая часть уравнения (*) имеет вид

Если числа не являются корнями характеристического уравнения, то уравнение имеет частное решение вида

Если же числа служат корнями характеристического уравнения, то частное решение имеет вид

В частных случаях, когда А=0 или B=0, решение все равно следует искать в указанном полном виде.

Примеры.

1)

Характеристическое уравнение имеет корни Значит, общее решение соответствующего уравнения без правой части запишется так:

.

Так как числа Не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

Дважды дифференцируем:

И подставляем в уравнение:

Приравнивая друг другу коэффициенты при и в обеих частях равенства (справа коэффициент при равен нулю), получим:

Отсюда , т. е. частным решением будет функцИЯ , а общим

2)

Общее решение соответствующего уравнения без правой части мы уже нашли в п. 3.2.:

Если , то частное решение данного уравнения ищем в виде

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получим (рекомендуеМ читателю проделать выкладки самостоятельно):

Отсюда

и

Поэтому общее решение неоднородного уравнения таково:

Если же , то это решение не годится. В этом случае частное решение ищем в виде

.

Имеем:

Подставляя в уравнение, находим:

Т. е.

Откуда

Итак, функция

Является частным решением уравнения при .

Следовательно, общим решением будет

Перейдем теперь к самому общему виду правой части, при котором еще можно применять метод неопределенных коэффициентов.

3. ЕСли в уравнении (*) правая часть имеет вид

Где и — многочлены, а числа не являются корНЯми характеристического уравнения, то частное решение следует в виде

Где и — Многочлены степени, равной высшей из степеней многочленов и .

Если числа являются корнями характеристического уравнения, то указанную форму частного решения следует умножить на Х.

Случай 1 получается из приведенного общего при , а случай 2 при ,

Пример.

Здесь , и суть корни характеристического уравнения . Поэтому частное решение ищем в виде

Имеем:

Подставляя в уравнение, находим:

Это равенство будет тождественным только при

Отсюда

Следовательно, получаем частное решение

.

Общее решение дается формулой

.

Практически важно учесть следующее простое замечание:

Пусть правая часть уравнения равна сумме двух функций: , и суть решения уравнений С Той же левой частью, но с правыми частями, соответственно равными И ; Тогда будет решением данного уравнения.

В самом деле,

.

Это значит, что если мы умеем найти решения уравнения, когда правыми частями его являются отдельные слагаемые заданной правой части, то мы очень просто — в виде суммы решений — находим и все ИСкомое решение.

Например, в силу ЭТого замечания уравнение (см. примеры 2, 3 подпункта 1 данного пункта)

Имеет частное решение

И, значит, такое общее решение:

< Предыдущая		Следующая >