24. Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части

Решением линейных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами А1 и А2 мы заниматься не будем; задача эта слишком сложна. Мы будем рассматривать только линейные уравнения с постоянными коэффициентами, т.Е. уравнения

(*)

Где А1 и А2 — постоянные величины. Как и раньше, начнем с уравнений без правой части.

Возьмем однородное линейное уравнение второго порядка

, (**)

Где A1 и А2 — Постоянные. Поставим перед собой цель — найти общее решение такого уравнения.

Попробуем удовлетворить уравнению (**) функцИЕй вида (R — константа). Читателя не должна смущать кажущаяся с первого взгляда произвольность выбора этой функции. Внимательно проследив за простейшими выкладками, которые мы сейчас приведем, он убедится, что особенности показательной функции действительно дают повод ожидать, что при некотором определенном R функция будет решением уравнения (**).

Имеем:

Следовательно, должно иметь место тождество

Или, так как ,

(А)

Отсюда видно, что функция будет решением дифференциального уравнения (**), если R будет корнем квадратного уравнения (А).

Уравнение (А) называется Характеристическим.

Чтобы составить характеристическое уравнение, нужно в данном дифференциальном уравнении (**) У заменить единицей, а каждую производную искомой функции (У' и У") — Величиной R в степени, равной порядку производной (R и R2).

Следует различать три возможных случая для корней R1 и R2 Характеристического уравнения (здесь везде предполагается, что коэффициенты A1 и A2 — действительные числа):

1) R1 и R2 — действительные и различные числа: ;

2) R1 и R2 — действительные и равные числа: (R1 - кратный корень уравнения (А));

3) R1 и R2 — комплексные сопряженные числа:

Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.

1) Корни характеристического уравнения действительные и различные: .

При этом оба корня могут быть взяты в качестве показателей R функции , и мы сразу получаем два решения уравнения (**): и . Ясно, что их ОтноШение не является постоянной величиной:

Об ЩЕе решение в случае действительных и разных корней характеристического уравнения дается формулой

Где С1 и С2 — произвольные постоянные.

Легко проверить, что определитель системы уравнений, составленной для отыскания произвольных постоянных по начальным условиям (см. п. 3.1., 1, формула (***)), будет отличен от нуля.

Составим этот определитель, задаваясь каким-нибудь значением Х0:

Так как , то Этот определитель ни при каком значении Х0 не равен нулю.

Пример. Решим уравНЕние

Составим характеристическое уравнение

Его корни суть

Поэтому общим решением будет

Найдем частное решение по начальным условиям . Составим систему уравнений относительно С1 и С2:

Отсюда С1 = -1, С2 = 3 и искомым частным решением будет

2) Корни характеристического уравнения действительные и равные: .

В этом случае мы непосредственно получаем только одно решение Покажем, что в качестве второго решения можно взять функцию

Продифференцируем дважды функцию :

Подставим найденные выражения в левую часть уравнения (**):

Поскольку R1 — корень характеристического уравнения, то ; а так как R1 — двукратный корень, то по формуле Виета , т. е. . Таким образом, выражение, заключенное в квадратной скобке, равно нулю, и функция действительно является решением уравнения (**).

Итак, в случае действительных равных корней Характеристического уравнения общее решение уравнения (**) ИМеет вид

И здесь легко проверить, что определитель (***) П. 3.1. ни при каком значении Х0 не равен нулю:

Пример. Решим уравнение

Характеристическое уравнение

Имеет один двукратный корень

И зНАчит, общее решение уравнения запишется так:

3) Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные числа:

Покажем, что в этом случае решениями будут служить функции и . Проведем проверку для функции :

Подставляя найденные значения и в левую часть уравнения (**) И группируя слагаемые, получим:

Если подставить корень в характеристическое уравнение, то будем иметь:

Или

Комплексное число равно нулю только в том случае, если равны нулю его действительная и мнимая части, следовательно,

Эти равенства показывают, что в результате подстановки функции в уравнение мы получаем нуль. Совершенно аналогично можно произвести проверку и для функции .