26. Метод вариации произвольных постоянных

Изложим теперь метод, позволяющий отыскивать частное решение линейного уравнения с правой частью

(*)

Где — любая функция.

При использовании этого метода нам нужно знать общее решение соответствующего уравнения без правой части. Метод вариации постоянных в равной мере применим как к уравнениям с постоянными коэффициентами, так и к уравнениям, в которых коэффициенты А1 и А2 являются функциями от Х. Однако, так как мы умеем решать лишь уравнения с постоянными коэффициентами, то и излагаемый метод практически мы сможем применять только к таким уравнениям.

Пусть уравнение без правой части, соответствующее уравнению (*)

(**)

Имеет общее решение

(***)

Где С1 и С2 — произвольные постоянные.

Будем искать решение уравнения (*) в виде

Где и — НЕизвестные функЦИи, подлежащие определению, а У1 и У1 — Известные частные решения уравнения без правой части (**). Будем в дальнейшем для краткости вместо и писать просто С1 и С2, помня, что они являются функциями от Х. Поскольку определению подлежат две функЦИи С1 и С2 то одним соотношением между ними мы можем распорядиться по произволу. Продифференцируем равенство (***):

Оказывается, что наиболее целесообразно подчинить С1 и С2 такому условию, чтобы выражение для У' имело тот же самый вид, что и при постоянных С1 и С2.

Для этого положим

(A)

Тогда

Продифференцируем еще раз:

Подставим У, у' и У" в левую часть уравнения (*):

Выражения в обеих скобках равны нулю, так как У1 и У2 являются решениями уравнения без правой части (**). Значит, чтобы функция , была решением уравнения (*), помимо условия (А) должно еще соблюдаться условие

. (Б)

Таким образом, мы приходим к системе уравнений

Определитель этой системы, как мы уже отмечали в П. 3.1., в нуль не обращается:

И поэтому мы можем сначала найти и , а затем интегрированиеМ И сами функции С1 и С2. Если при интегрировании производных и ввести произвольные постоянные, то мы сразу получим общее решение неоднородного уравнения.