20. Частные случаи уравнений второго порядка
Возьмем дифференциальное уравнение второго порядка
.
И рассмотрим частные случаи, легко приводимые к уравнениям первого порядка.
I. Правая часть уравнения не содержит Y и У':
. (*)
Интегрируя еще раз, будем иметь:
Где С1 и С2 — произвольные постоянные. Пример такого уравнения мы уже рассматривали в П. 2.1.
II. Правая часть уравнения не содержит У:
. (**)
Положим 
, тогда 
и уравнение (**) обращается в уравнение первого порядка относительно Z:
.
Найдя решение этого уравнения 
, мы искомое решение получим интегрированием равенства , т. е.
Пример. Решим уравнение
.
Полагая и , приходим к уравнению первого порядка 
, которое оказывается линейным. Решив его, найдем 
Тогда 
и 
III. Правая часть уравнения не содержит Х:
. (***)
Положим У' = р и будем считать Р функцией от У. Дифференцируя это равенство, получим 
. Чтобы исключить Х, произведем следующее преобразование:
Таким образом,
Подставив в уравнение, будем иметь:
Т. е. уравнение первого порядка относительно Р как функции от У. Решив его, найдем 
. ТогДА искомое решение получим из уравнения с разделяющимися переменными:
Т. е. 
и 
Пример. Решим уравнение
Полагая У' = р и 
получим:
Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приведя его к виду 
и интегрируя, получим 
и 
Определив теперь У из уравнения 
придем к искомому решению 
или 
.
В обоих последних случаях мы заменяли производную У' новой вспомогательной функцией и прихоДИли, таким образом, к уравнению первого порядка. В том случае, когда уравнение имеет вид 
, Т. Е. когда оно одновременно относится и к типу II и типу III, следует выбрать тот ход решения, который окажется более удобным.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
