19. Дифференциальные уравнения второго порядка

Мы перейдем теперь к изучению дифференциальных уравнений вида

В левую часть которых входит вторая производная неизвестной функции. Мы будем называть их Дифференциальными уравнениями второго порядка.

Обычно рассматривают уравнения, разрешенные относительно второй производной

. (*)

Начнем с уравнения

Последовательно интегрируя, найдем сначала первую производную: а затем и саму функцию:

Так как мы интегрировали дважды, то и получили ДВЕ произвольные постоянные, которые обозначили через И .

Сформулируем общий вывод, доказательство которого мы проводить не будем.

Дифференциальное уравнение второго порядка Имеет бесчисленное множество решений, которые даются формулой , содержащей две произвольные постоянные. Эта совокупность решений называется общИМ решением.

Частное решение уравнения отыскивается при помощи задания начальных условий

и

Например, найдем частное решение рассмотренного нами уравнения при начальных условиях , . Подставляя эти условия в выражения для общего решения и его производной, получаем систему уравнений

Откуда

Следовательно, искомым частным решением будет

Геометрический смысл начальных условий заключается в том, что помимо точки , через которую должна проходить интегральная кривая, мы задаем еще угловой коэффициент касательной к этой кривой. Отметим, что так как общее решение уравнения второго порядка зависит от двух произвольных постоянных, то через данную точку проходит Бесчисленное множество интегральных кривых, лишь одна из которых имеет Данный угловой коэффициент. Так, например, легко проверить, что если в общем решении РассмотренНого выше примера положить то график функции при любом значении пройдет через заданную точку (2, 2). Выбирая из всех этих кривых ту, для которой угловой коэффициент равен 3, мы и приходим к искомому частному решению.

Для дифференциальных уравнений второго порядка имеет место следующая теорема:

Теорема существования и единственности решения. Если в уравнении (*) функция непрерывна при значениях , то существует решение такое, что при функция Y обращается в , а у' — в . Если, кроме того, нЕПрерывны также и частные производные и , то такое РешеНие единственно. Доказывать теорему мы не будем.

< Предыдущая		Следующая >