18. Приближенные решения уравнений первого порядка

I. Поле направлений. Если ни один из частных приемов интегрирования уравнения первого порядка

(*)

Не приводит к цели или требует сложных выкладок, то можно прибегнуть к приближенному решению. Мы изложим здесь графическОЙ способ Эйлера и вытекающий из него способ численного интегрирования. Прежде чем обратиться к рассмотрению этих способов, коснемся геометрического смысла уравнения первого порядка (*).

Уравнение (*) определяет в каждой точке Р(Х, у) той области плоскости Оху, в которой справедлива теорема существования и единственности решения (п. 1.1), величину углового коэффициента касательной (У') к интегральной кривой, проходящей через точку Р(Х, у). Эту величину графически можно изобразить прямолинейной стрелкой, исходящей из точки Р и имеющей угловой коэффициент, равный ; при этом длина стрелки здесь не имеет никакого значения. Таким образом, заданием уравнения (*) устанавливается, как говорят, поле направлений в плоскости Оху.

Геометрическое место точек с одинаковым направлением поля называется Изоклиной (линией равных наклонов) уравнения. Очевидно, мы получим уравнение изоклины, соответствующей данному значению , если подставим это значение в дифференциальное уравнение

При произвольных, но постоянных С это есть уравнение семейства изоклин дифференциального уравнения (*).

Во всех точках одной изоклины, соответствующей одному С, касательные к интегральным кривым имеют одинаковое направление.

Как видно, задачу интегрирования дифференциального уравнения можно геометрически истолковать так: Найти линии, удовлетворяющие тому условию, что касательные к ним имеют направления, совпадающие с направлениями поля в точках касания.

Перейдем к изложению методов приближенного интегрирования, причем здесь всюду предполагается, что теорема существования и единственности решения справедлива.

II. Графический метод Эйлера. Рассмотрим метод Эйлера построения интегральной кривой уравнения первого порядка

, (*)

Проходящей через начальную точку т. Е. к графическому отысканию частного решения с начальным условием

Приближенно это можно выполнить с помощью простых построений, вполне аналогичных тем, которые производятся при графическом интегрировании функций, т. е. при решении уравнения (*) в частном случае, когда является функцией только Х.

Разобьем интервал на П частей точками (рис. 4). Через точки деления проведем прямые, параллельные оси Оу, и последовательно проделаем следующие однотипные операции.

Вычисляем значение в точке ; измеряет согласно уравнению (*) угловой коэффициент интегральной кривой в точке . Для построения направления, исходящего из точки , возьмем полюс Р графика на оси Ох слева от начала координат на расстоянии, равном ОР = 1 (при этом масштаб ОР Может быть отличным от масштаба, принятого по осям координат); отложим по оси Оу отрезок , равный в масштабе ОР числу , и соединим точку прямой с полюсом Р. Направление отрезка , Очевидно, и будет искомым направлением кривой в точке . Проведем из отрезок прямой, параллельной , до пересечения с прямой . Мы получим точку , которую и примем в качестве точки интегральной кривой, соответствующей . Это построение означает замену дуги кривой в частичном интервале отрезком ее касательной в начальной точке. Далее, вычисляем значение в найденной точке ; измеряет угловой коэффициент кривой в точке . Откладываем по оси Оу отрезок , равный в масштабе ОР числу , и соединяем прямой точку с полюсом Р. Затем из точки проводим отрезок прямой, параллельной , до пересечения с прямой . В пересечении получаем точку , которую принимаем за точку интегральной кривой, соответствующую .

Таким же образом и дальше находим одну вслед за другой точки кривой, соответствующие точкам разбиения интервала , Пока не доходим до точки . Вычерченная ломаная линия И представляет приближенно интегральную кривую, проходящую через точку .

III. Численное интегрирование. Переведем на аналитический язык прием Эйлера приближенного интегрирования диффереНЦиального уравнения (*).

Очевидно, первая операция дает такую связь между координатами точек и :

; (1)

Вторая операция приводит к аналогичному соотношению:

(2)

И т. д.; наконец, П-Я операция дает:

. (n)

Эти П равенств позволяют последовательно вычислить значения неизвестной функции в точках деления интервала . Действительно, из первого равенства по заданным и выбранному находим , из второго по известным и выбранному находим соответствующее ему значение и т. д., пока не дойдем до искомого значения У.

Чем меньше наибольший из частичных интервалов и, значит, больше число П и чем Х ближе к , тем, вообще говоря, результат будет точнее.

Итак, фактическое вычисление приближенного значения У можно производить с помощью равенств (1) - (n). Этот прием является одним из Методов численного интегрирования уравнения (*).

Пример. Рассмотрим уравнение

К нему не подходит ни один из изложенных способов решения уравнений первого порядка. Найдем приближенное решение этого уравнения на интервале [0, 1] с начальным условием И вычислим У при .