11. Непротиворечивость и минимальность системы аксиом

В предыдущем параграфе мы уже обсудили вопрос о непротиворечивости конкретной системы аксиом, а именно системы аксиом планиметрии Лобачевского. Мы убедились, что планиметрия Лобачевского непротиворечива, если непротиворечива планиметрия Евклида.

Естественно поставить вопрос в общем виде о непротиворечивости любой аксиоматики. При этом ясно, что определение непротиворечивости, которое мы относили конкретно к планиметрии Лобачевского, ровно такое же для любой аксиоматически построенной теории, которую в учебнике геометрии естественно называть «геометрией»; она непротиворечива, если в ней не могут быть получены два взаимно исключающих утверждения.

При доказательстве непротиворечивости планиметрии Лобачевского мы построили ее модель в терминах евклидовой планиметрии и тем самым решили вопрос условно.

Говоря о непротиворечивости какой-либо другой «геометрии», мы можем поступить точно так же. Пусть, например, исследуется вопрос о непротиворечивости «геометрии» G. Выберем некоторую математическую теорию Т, о непротиворечивости которой вопрос в каком-то смысле решен, и определим основные понятия «геометрии» G в терминах теории Т. Если при этом удается установить, что выполнены все аксиомы «геометрии» G, то говорят, что построена Модель «Геометрии» G в теории Т. Ясно, что Если модель построена, то вопрос о непротиворечивости «геометрии» G решен положительно, ибо в противном случае мы имели бы противоречие в теории Т.

По этой схеме будет доказана непротиворечивость планиметрии Евклида, а именно, будет построена модель в терминах арифметики вещественных чисел. Тем самым вопрос о непротиворечивости евклидовой планиметрии, а стало быть, и планиметрии Лобачевского будет передан из геометрии в другую область математики.

Наряду с вопросом о непротиворечивости также важным вопросом любой аксиоматики является вопрос о минимальности системы аксиом.

Система аксиом называется Минимальной, если никакая ее аксиома не является следствием остальных аксиом. Про аксиомы минимальной СиСтемы говорят, что они независимы, понимая под этим их независимость от остальных аксиом.

Ясно, что в аксиоматике данная аксиома будет независимой, если можно построить модель, в которой выполняются все аксиомы, кроме этой.

Как мы видим, вопрос о независимости аксиом, как и вопрос о непротиворечивости, решается с помощью построения модели. Легко увидеть связь между независимостью и непротиворечивостью. Действительно, пусть надо решить вопрос о независимости аксиомы А от остальных аксиом данной системы аксиом А. Заменим А на аксиому «не A», а все остальные аксиомы оставим прежними. Возникает новая система аксиом А*. Если нам удастся доказать, что система аксиом А* непротиворечива, то аксиома А не зависит от остальных аксиом системы А. Это легко следует от противного. Если бы аксиома А была следствием остальных аксиом, то аксиоматика А* была бы противоречивой. Именно такое рассуждение мы провели при доказательстве независимости V постулата от остальных аксиом евклидовой геометрии.

< Предыдущая		Следующая >