09. Основные понятия планиметрии. Аксиомы принадлежности

Некоторое множество будем называть плоскостью, а его элементы — Точками. Далее, некоторые подмножества плоскости будем называть Прямыми. Для трех точек А, В, С, лежащих на одной прямой, введем отношение «точка В лежит между точками А и С» и будем обозначать это отношение символом (А, В, С). Расстоянием между точками будем называть вещественную функцию, заданную на множестве пар точек.

Таким образом, основные понятия планиметрии: точка, прямая, отношение, выражаемое словами «точка В лежит между точками A и С» и расстояние между точками. Перечисленные понятия не определены. Свойства основных понятий будут перечислены в аксиомах. Выбор основных понятий может быть и другим. Некоторые системы аксиом с другим набором основных понятий будут рассмотрены позже. Аксиомы мы разобьем на пять групп: I группа — аксиомы принадлежности, II группа — аксиомы порядка, III группа — аксиомы расстояния, IV группа содержит одну аксиому подвижности плоскости, V группа содержит одну аксиому параллельности. Нумерация аксиом двойная — номер группы и номер аксиомы внутри группы.

Перечислим аксиомы I ГрупПы. При этом вместе с теоретико-множественными ВыраженияМи «точка принадлежит прямой» и «прямая содержит точку» будем применять равносильные выражения «точка лежит на прямой» и «прямая проходит через точку».

Аксиома I.1. Всякая прямая содержит, по крайней Мере, две точки.

Аксиома I.2. Существует, по крайней мере, три точки, не Лежащие на одной прямой.

Аксиома I.3. Через всякие две точки проходит прямая притом только одна.

Непосредственно из аксиомы I.3 следует.

Теорема. Две прямые имеют не более одной общей точки.

Простейшим примером плоскости, удовлетворяющей ПереЧисленнЫМ аксиомам, является множество, состоящее из трех ЭЛементов (точек); прямыми назовем в нем все двухточечные множества. Легко видеть, что при этом выполняются аксиомы I.1 - I.3. Этот пример показывает, что исходя лишь из аксиом принадлежности нельзя получить более содержательных Теорем. Например, нельзя даже доказать, что существуют хотя бы четыре точки.

< Предыдущая		Следующая >