08. Аксиоматический метод построения геометрии

В своей основе метод Евклида отличается от современного аксиоматического метода лишь тем, что Евклид стремился дать явные определения всех геометрических объектов, которыми оперировал. Пытаясь наглядно описать основные объекты, такие, как точка, прямая, плоскость и др., он приводит их определения, которые фактически никак не связаны с остальным материалом, нигде не используются и без ущерба для дела могут быть опущены.

В современном аксиоматическом методе в вопросе об определениях исходят из того, что следует изначально выделить ряд понятий данной теории, которые не определяются путем сведения их к другим понятиям и через которые все остальные понятия этой теории должны быть определены. Эти понятия называют основными. Хотя основные понятия явно не определяются, это не значит, что они лишены свойств. ИнформацИЯ об их свойствах заложена в Аксиомах — утверждениях, принимаемых без доказательств. При этом никакой иной информации о свойствах основных понятий нет. Можно сказать, что как сама теория, так и основные ее объекты определяются системой аксиом.

Любое утверждение, которое, в конечном счете, может быть получено логическим выводом из аксиом и определений, называется Теоремой. Сформулируем теперь кратко сущность аксиоматического метода.

1. Перечисляются основные понятия.

2. Формулируются аксиомы, в которых сообщаются некоторые свойства основных понятий, необходимые для построения теории.

3. Все понятия, не являющиеся основными, определяются через основные и понятия, ранее введенные.

4. Все предложения, не являющиеся аксиомами, доказываются на основе аксиом, определений и предложений, ранее доказанных.

< Предыдущая		Следующая >