07. Геометрия Римана

Новые перспективы, открывшиеся в геометрии, были необычайно расширены трудами Георга Фридриха Бернгарда Римана (1826-1866). Риман Был одним из учеников Гаусса и, несомненно, почерпнул от него интерес к изучению физического мира. Риман сразу же отметил, что в области геометрии математики впали в заблуждение, поверив, что евклидова аксиома о параллельных абсолютно верна. А не впали ли они в заблуждение, приняв на веру еще одну или даже несколько аксиом Евклида? Риман тотчас ополчился против аксиомы о бесконечности прямой линии. Опыт, указывал он, не убеждает нас в бесконечности физической прямой, а показывает только, что, следуя вдоль прямой, мы никогда не достигнем ее конца. Ведь так же невозможно отыскать конец прямой, если идти вдоль экватора Земли. Другими словами, из опыта мы узнаем только, что у прямой линии нет точки, которую можно было бы считать конечной, или граничной. Если мы соответственно изменим аксиому Евклида, о которой идет речь, и предположим, что параллельных прямых не существует вовсе, мы получим новый набор аксиом, который составит основу еще одной неевклидовой геометрии.

В работе 1854 г., озаглавленной «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», Риман провел еще более глубокое исследование возможных пространств, используя лишь самые достоверные факты о физическом пространстве. Он создал новую ветвь геометрии, известную теперь как Риманова геометрия, которая открыла новое неисчислимое многообразие математических пространств.

Чтобы постичь геометрию Римана, нужно усвоить сначала, что вся геометрия определяется тем, что выбрано за расстояние между двумя точками. Это можно без труда показать. Рассмотрим три точки на поверхности Земли. За расстояние между любыми двумя из них можно принять длину обычного прямолинейного отрезка, который соединяет их под землей, В этом случае получится треугольник, обладающий всеми свойствами обычного евклидова треугольника. Сумма его углов, в частности, равна 180°. Можно было бы, однако, взять за расстояние между любыми двумя из этих точек расстояние по поверхности Земли, понимая под ним длину дуги большого круга, проходящего через эти точки. В этом случае три наши точки определят так называемый сферический треугольник. Такие треугольники обладают уже совершенно иными свойствами. Сумма их углов, к примеру, может изменяться в пределах от 180 до 540°. Этот результат относится к сферической геометрии.

РИман первым попытался создать геометрию для изменяющихся конфигураций.

Допустим, что мы хотим изобрести геометрию, которая была бы пригодна для поверхности на горной местности. В некоторых местах такая поверхность плоская, в других на ней могут находиться холмы конической формы, а в третьих - полусферической. Характер поверхности меняется от места к месту, а значит, и определяющая всю геометрию формула расстояния тоже должна изменяться от места к месту и, возможно, даже от точки к точке. Другими словами, Риман ввел в рассмотрение неоднородные пространства, характеристики которых меняются от точки к точке, т. е. пространства переменной кривиЗНы.

Риман умер в возрасте сорока лет, успев сделать лишь самый общий набросок своей концепции пространства. В дальнейшем развитии идей Римана принимали и продолжают принимать участие многие ученые.

Путаница, которую внесла неевклидова геометрия, была необычайной. Если и та и другая геометрии одинаково хорошо описывают физическое пространство, то где правда об этом пространстве и о фигурах в нем? На этот вопрос трудно ответить. Должен ли человек ограничивать себя выбором только этих двух геометрий? Такая печальная возможность тоже вскоре была осознана. Математики были подавлены еще больше тем, что геометрия не дает истинного представления о физическом пространстве, а только служит для изучения возможных пространств. Несколько таких математически сконструированных пространств, сильно отличающихся друг от друга, могли соответствовать различным понятиям о физическом пространстве с равным успехом, во всяком случае, в той степени, в какой об этом позволяет судить эксперимент.

Само понятие «геометрия» нуждалось теперь в проверке, что, впрочем, было верно и в отношении математики в целом. И так как в продолжение более чем 2000 лет математика была бастионом истины, неевклидова геометрия, — этот триумф разума — казалась интеллектуальным бедствием. С появлением новой геометрии утвердилась мысль, что математика, несмотря на всю пользу, приносимую ею в Дисциплинировании мышления человека и в содействии его творческому труду, не отражает истины, а представляет собой некую выдумку, имеющую лишь видимость истины.

< Предыдущая		Следующая >