05. Постулаты и Аксиомы

I. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

II. И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.

III. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.

IV. И чтобы все прямые углы были равны.

V. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с Двумя другими прямыми образует с ними внутренние Односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые Пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Аксиомы

I. Равные порознь третьему равны между собой.

II. И если к равным прибавить равные, то получим равные.

………………………………………………………………….

VII. И совмещающиеся равны.

………………………………………………………………….

IX. И две прямые не могут заключать простРАнства.

Затем Евклид излагает теоремы геометрии, располагая их в такой последовательности, чтобы каждую теорему можно было доказать, используя только предыдущие теоремы, постулаты и аксиомы. Такой метод построения геометрии явился прообразом современного аксиоматического метода, без которого в настоящее время немыслимо изложение любого крупного раздела математической науки.

Перечисление определений и аксиом, которые достаточны для проведения логического доказательства всех следующих за ними теорем геометрии, принято называть Обоснованием геометрии.

Таким образом, «Начала» Евклида — первый дошедший до нас труд по обоснованиям геометрии, и в этом огромная историческая заслуга замечательного геометра античного мира перед наукой. На протяжении многих веков «Начала» были образцом логической строгости математических доказательств, образцом научного изложения. Например, гениальный ученый XVII в. Ньютон следовал Евклиду в своих «Математических началах натуральной философии» — труде, определившем развитие физики более чем на два последующих века. Еще в начале XX в. учебники по школьной геометрии, по существу, представляли собой популярное изложение «Начал» Евклида.

Однако если подходить к «Началам» с точки зрения современной математики, то обнаруживается, что проведенное Евклидом обоснование геометрии во многом неудовлетворительно. Остановимся на этом более подробно.

Прежде всего отметим, что данные Евклидом определения геометрических образов (в самом начале первой книги) являются скорее некоторыми весьма приближенными описаниями их. Так, например, определение прямой мало отличает ее от окружности. Определение линии строится с помощью понятий длины и ширины, которые сами должны быть определены. Более внимательный анализ показывает, что первые пять определений не используются в дальнейшем при доказательстве теорем, они вообще без какого-либо ущерба могут быть опущены. Это, разумеется, не означает, что не нужны все определения. Напротив, большинство определений Евклида совершенно необходимы для изложения и либо содержат легко устранимые недостатКИ, либо являются безупречными.

Приведенные Евклидом постулаты и аксиомы также необходимы. Они используются в доказательствах утверждений и в достаточной степени правильны. Но и здесь имеется весьма существенный недостаток: список евклидовых постулатов и аксиом слишком беден для обоснования геометрии. Например, с помощью евклидовой аксиоматики невозможно обосновать такие важнейшие понятия геометрии, как расположение точки прямой между двумя другими точками этой же прямой, расположение точек по одну или по разные стороны от прямой (на это обратил внимание Гаусс). Фактически Евклид постоянно пользуется этими понятиями, но в списке его постулатов и аксиом нет утверждений, на которые он мог бы сослаться. Поэтому он вынужден подкреплять доказательства обращением к наглядности чертежа, что недостаточно для чисто логического пути построения геометрии.

Далее, равенство фигур (аксиома VII) опирается на понятие движения. Между тем в «Началах» об этом понятии ничего не сказано и свойства движения в аксиоматике Евклида отсутствуют. Наконец, в списке постулатов и аксиом Евклида полностью отсутствуют утверждения, которые бы обосновывали, например, тот факт, что если прямая проходит через точку внутри окружности, то она пересекает окружность в двух точках (на это обратил внимание Лейбниц). Таким образом, с современной точки зрения «Начала» Евклида не дают безупречного логического обоснования геометрии. Следует отметить, что уже ученые античного мира внесли различные дополнения и исправления в систему постулатов и аксиом Евклида. Так, Архимед расширил аксиоматику Евклида, добавив известную аксиому, обосновывающую процесс измерения длин. Было замечено, что IV постулат является лишним, так как его утверждение может быть доказано.

Евклид в своих «Началах» вывел почти 500 теорем. В других трудах Евклида и его последователей, — прежде всего Архимеда и Аполлония — можно найти еще сотни теорем. Поскольку греки занимались исключительно геометрией, то оказалось, что многие чисто геометрические теоремы содержат результаты, ныне рассматриваемые как алгебраические. Например, решение квадратного уравнения с одним неизвестным (типа Х2-8Х+7=0) было получено геометрически, и ответ Евклида был не численным, а в виде отрезка прямой. Отсюда можно сделать вывод, что евклидова геометрия включала в себя алгебру, которая была уже известна в то время.

Упомянутое обилие теорем могло бы навести на мысль, что греки свободно переходили от одной темы исследования к другой. Однако подобное представление ошибочно. Фигуры, которые они избирали для своих исследований, были основными: к одной категории относились прямые и кривые, к другой — поверхности. В первую категорию входили как треугольники, так и разные конические сечения: круг, парабола, эллипс и гипербола. Ко второй категории относились куб, сфера, параболоид, эллипсоид и гиперболоид. Затем греческие геометры взялись за решение основных задач, связанных с этими фигурами. Например, что нужно знать о двух фигурах, для того чтобы утверждать, что они конгруэнтны (т. Е. тождественны во всем, кроме положения в пространстве), подобны (т. е. имеют одну и ту же форму при разных размерах) или же равновелики (т. е. имеют одинаковую площадь)? Итак, конгруэнтность, подобие и Равновеликость — главные темы евклидовой геометрии, и большинство ее теорем касается именно этих вопросов.

Планиметрия и стереометрия - основные разделы геометрии. Планиметрия занимается изучением свойств фигур на плоскости. Стереометрия занимается изучением свойств пространственных фигур.

В течение всего длительного царствования геометрии Евклида многие математики были обеспокоены небольшим недостатком, который, как казалось, портил существующий набор аксиом. Евклид сформулировал свою аксиому о параллельных прямых (под каковыми подразумеваются две прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие ни одной общей точки) следующим образом: если прямая П пересекает две другие прямые L и Т так, что внутренние односторонние углы с каждой из них оказываются в сумме меньше 180°, то L и Т встречаются по ту сторону от прямой П, по какую лежат эти углы. Эта аксиома существенна для вывода наиболее важных теорем евклидовой геометрии, среди которых, например, теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180°. Формулировка упомянутой выше аксиомы несколько туманна, и есть основания полагать, что сам Евклид не был удовлетворен ею. Но и он и все математики вплоть до XIX в. искренне верили в истинность этого утверждения, иными словами, у них не было сомнений, что это достоверная идеализация свойств реальных, физически существующих прямых. Евклида и его последователей беспокоило только то, что данная аксиома не была столь очевидна, как, скажем, аксиома о равенстве двух прямых углов.

Со времен греков математики пытались заменить аксиому о параллельных прямых какой-либо эквивалентной, т. е. такой, которая вместе с остальными девятью аксиомами Евклида дала бы возможность вывести все его теоремы. Предлагались многие эквивалентные аксиомы. Одну из них, предложенную математиком Джоном Плэйфэйром (1748-1819), обычно преподают в средней школе. Согласно этой аксиоме, если заданы прямая L и точка Р, не лежащая на этой прямой, то существует только одна прямая Т в плоскости, содержащей L и Р, которая проходит через Р и не пересекается с L.

Аксиома Плэйфэйра не только эквивалентна евклидовой аксиоме, но и проще ее; к тому же она кажется более правдоподобной, поскольку создает впечатление, что утверждает несомненное и самоочевидное свойство прямых в физическом пространстве. Позднее, однако, аксиома Плэйфэйра, как и всякая другая, объявлявшаяся эквивалентной евклидовой, перестала удовлетворять математиков, так как все они прямо или косвенно касались того, что происходит где-то далеко в пространстве. Так, по аксиоме Плэйфэйра прямые L и Т не встретятся, сколько бы мы ни продолжали эти линии. В результате аксиома Евклида оставалась лучшей, поскольку касалась условия пересечения прямых на некотором конечном расстоянии.

Что же предосудительного в аксиоме, которая утверждает нечто происходящее где-то далеко в пространстве? Дело в том, что такие аксиомы не поддаются проверке опытом. Предполагалось, что аксиомы евклидовой геометрии — несомненные истины о реальном мире. Однако можно ли с уверенностью сказать, что две прямые линии будут простираться сколь угодно далеко в физическом пространстве, но так и не встретятся? Здесь математики столкнулись с тем, что евклидова аксиома о параллельных не столь уж самоочевидна, а все эквивалентные ей, казавшиеся более очевидными, при ближайшем рассмотрении также не внушали доверия.

Однако, несмотря на непрекращающиеся попытки ученых уточнения аксиоматики Евклида, на протяжении 20 веков никто не прибавил к обоснованию геометрии чего-либо принципиально нового.

< Предыдущая		Следующая >