04. Геометрия Евклида как первая естественно-научная теория

Первоначальные геометрические понятия зародились у людей в глубочайшей древности и постепенно расширялись и уточнялись с развитием практической деятельности, когда люди оценивали расстояния, делали прямые копья и стрелы, сравнивали их по длине и т. Д. Но сама геометрия зародилась тогда, когда с развитием земледелия были выработаны и осознаны первые правила измерения земельных участков для посева, правила нахождения объема сосудов, строительства зданий, и др. Эти простые правила сравнения фигур, нахождения геометрических величин, простейших геометрических построений и составили начала геометрии как пока еще чисто прикладной науки, как собрание правил решения практических задач.

Такие зачатки геометрии складывались в древних земледельческих обществах (в Египте, Вавилоне, дельте Инда, Китае). И раньше всего, по-видимому, в Древнем Египте. Самое древнее дошедшее до нас в отрывках собрание правил решения геометрических задач из Египта относится к XVII в. до Н. Э., и оно, конечно, не было первым. Так что возраст геометрии надо оценивать не менее чем в 4-5 тысяч лет. Но тогда она не была еще математической наукой. Египтяне знали многие факты геометрии, например теорему Пифагора, приближенное выражение объема шара через его радиус и др., именно как опытные факты, а не логически доказанные теоремы. Математика, как мы ее теперь понимаем, сложилась много позже.

Практические правила, подсказанные опытом, постепенно приводились в систему, и одни правила стали выводиться из других. Возникло доказательство, правила стали превращаться в теоремы, в предложения, которые доказываются рассуждением без ссылок на опыт; появились также задачи, имеющие лишь теоретический интерес; оформились представления об идеальных геометрических фигурах: о точках без всяких измерений, о прямой без ширины и толщины и т. П. Геометрия постепенно, таким образом, становилась ТеоретичеСкой наукой, как мы ее теперь понимаем. Одновременно стала складываться теоретическая арифметика — начала теории чисел, так что в целом возникла чистая математика. Как происходил этот процесс, точно неизвестно, но, во всяком случае, известно, что геометрия оформилась как наука в Древней Греции в VII—V вв. до н. э. В этом сыграли существенную роль греческие мыслители, известные вам по названиям теорем, — Фалес (ок. 625 - ок. 547 гг. до Н. Э.) И Пифагор (VII в. до н. э.).

Одной из самых важных причин, побудивших греков обратиться к геометрии, была трудность, с которой они столкнулись при рассмотрении иррационального числа, т. е. числа, которое не является ни целым, ни отношением двух целых чисел. Эта трудность возникла в связи со знаменитой теоремой Пифагора о том, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника есть корень квадратный из суммы квадратов длин его катетов. В прямоугольном треугольнике с катетами длиной в одну единицу каждый длина гипотенузы должна быть равна , т. е. иррациональному числу. Понять это оказалось выше сил древних греков: поскольку число для них всегда означало либо целое число, либо отношение двух целых чисел. Греки обошли возникшее препятствие, создав геометрию с теоремами и доказательствами без чисел. Ныне она известна как чистая, или синтетическая, геометрия (последний, неудачный термин теперь может быть оправдан только с точки зрения истории его возникновения).

Поскольку математика древних греков предназначалась для установления истин в окружающем мире, она должна была и основываться на них. К счастью, в руках греков было несколько таких явных и несомненных истин: две точки определяют прямую; прямую линию можно продолжить неограниченно далеко в обоих направлениях; все прямые углы равны; если к равным прибавить равные, получатся снова равные; фигуры, которые могут быть совмещены, являются конгруэнтными. Одни аксиомы относятся главным образом к самому пространству, другие - к фигурам в пространстве.

Этот процесс формирования геометрии от правил измерения земельных участков до логической системы теорем кратко охарактеризован в следующих замечательных словах греческого ученого Евдема Родосского (IV в. до н. э.):

«Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разливов реки Нила, постоянно смывающего границы. Нет ничего удивительного в том, что эта наука, как и другие, возникла из потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно постепенно становится предметом рассмотрения и, наконец, делается достоянием разума».

Попытки систематизации и изложения всего накопленного геометрического материала в строго логическом порядке делались многими геометрами, но до нашего времени их сочинения не дошли, так как, по-видимому, были забыты после создания в III в. до н. э. Евклидом его знаменитых «Начал».

Евклид жил в Александрии примерно от 365 до 300 г. до н. э. Его «Начала» представляют собой полное и систематическое изложение основ геометрии. Они состоят из 13 книг, причем не все книги посвящены геометрии: в пятой, седьмой, восьмой, девятой и десятой книгах рассматриваются вопросы арифметики. В остальных восьми книгах излагаются основы геометрии.

Открываются «Начала» определениями основных понятий и формулировками некоторых основных положений геометрии, которые принимаются без доказательства. Затем идут в строгой последовательности «предложения», которые являются теоремами или задачами на построение. Изложение в каждой книге «Начал» имеет ту же структуру.

В первую книгу входят теоремы о равенстве треугольников, соотношениях между сторонами и углами треугольников, теория параллельных линий, условия Равновеликости треугольников и многоугольников, теорема Пифагора. Во второй книге рассматривается превращение многоугольников в равновеликий квадрат. Третья книга посвящена изучению свойств окружности, четвертая — вписанным и описанным многоугольникам, шестая — подобным фигурам. Наконец, в последних трех книгах излагается стереометрия, которая заканчивается построением циркулем и линейкой рЁБер правильных многогранников.

Остановимся более подробно на Первой книге. Она начинается с определений. Приведем некоторые из них.

Определение 1. Точка есть то, часть чего есть ничто.

Определение 2. Линия есть длина без ширины.

Определение 4. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.

И т. Д., всего подряд 23 определения.

После определений Евклид формулирует утверждения, принимаемые без доказательства, которые он разделяет на постулаты и аксиомы (постулатов всего пять, аксиом девять).

< Предыдущая		Следующая >