16. Метод замены переменной, интегрирование по частям

Во многих случаях удается введением вместо X новой переМенной Z, связанной с Х некоторым соотношением, свести интеграЛ к новому интегралу, который содержится в таблице ИЛи легко находится другим методом. Этот метод интегрирования получил название Метода замены переменной или метода интегрироВАния ПодстаноВКой.

Введем вместо Х новую переменную Z, связанную с Х соотНОшенИЕм , где — непрерывная, строго монотонная функция, имеющая непрерывную производную . Покажем, что тогда имеет место равенство

(1)

Формула (1) называется формулой замены переменного. Для доказательства соотношения (1) достаточно убедиться, что дифференциалы обеих его частей равны.

Дифференцируя левую часть соотношения (1), имеем:

Но так как то Это дает

(2)

С другой стороны, дифференцируя правую часть соотношения (1), имеем:

(3)

Соотношения (2) и (3) показывают, что

Откуда следует равенство интегралов:

Таким образом, формула (1) доказана.

Допустим, что функция такова, что интеграл, стоящий в правой части соотношения (1), легко находится. Пусть

Тогда для нахождения интеграла достаточно разрешить уравнение относительнО Z, т. Е. найти обратную функцию и подставить ее в Ф(Z):

Замечание. Формулу (1) легко запомнить. Ее правая часть получается, если в интеграле формально заменИТь Х На , a Dx на .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Положив , находим Dx = Adz. ПримЕНяя, формулу (1), получаем

Но интеграл согласно формуле VIII.

Поэтому

Возвращаясь снова к переменной Х, получим

Пример 2.

Полагая , и применяя формулу (1), имеем:

Если под интегралом стоит суперпозиция двух функций, умноженная на производную от внутренней функции, то вычисления обычно упрощаются, если заменить внутреннюю функцию новой переменной. Действительно, применяя тогда формулу замены переменной, получим

Где . Заметим, что эта формула отличается от формулы (1) только обозначением независимых переменных.

Пример 3.

Замечая, что полагаем

ЭТО дает: Dz = CosXdx и

УдачноЙ заменой переменного мы свели наш интеграл к интегралу от степенной функции.

Так как

То

Пример 4.

Замечая, что положим Это дает и, следовательно,

Таким образом,

(XI)

Пример 5.

Полагая имеем:

Итак,

(XII)

Пример 6.

Этот интеграл, конечно, можно было бы вычислить методом разложения, если разложить по формуле бинома Ньютона. Но это привело бы к слишком громоздким вычислениям. Однако, замечая, что , мы видим, что заменой переменной наш интеграл сводится к интегралу от степенной функции. В самом деле, пусть ; тогда . Это дает

Возвращаясь к переменной Х, окончательно получим

Пример 7.

Заметим, что диффЕРенциал знаменателя отличается от числителя на постоянный множитель — 5; поэтому напрашивается следующая замена переменной: , откуда и, СлеДовательно,

Из таблицы находим: Поэтому

Пример 8. Интегралы в примерах 4, 5, 7 являются частными СЛучаями интеграла более общего вида:

Т. Е. интеграла от дроби, числитель которой является дифференциалом знаменателя.

Полагая , имеем ,

Так, например,

Так как

С приобретением навыка в интегрировании, можно не производить в простейших интегралах подробно всех выкладок, связанных с заменой переменной. Покажем это на примерАХ.

Пример 9.

Замечая, что и вводя поправку , имеем:

Пример 10.

Замечая, что , имеем согласНО формуле X:

Пример 11.

Часто применяют одновременно метод интегрирования разложением и метод замены переменной.

Пример 12.

Так как а

То

Метод интегрирования по частям состоит в следующем. Пусть и — Две функции от Х, имеющие непрерывные производные. Известно, что

(4)

Интегрируя обе части равенства (4), имеем:

или

Откуда

(5)

Произвольной постоянной, получившейся при интегрировании выражения D(Uv), мы не пишем, включая ее мысленно в оставшийся в правой части интеграл .

Формула (5) называется Формулой интЕГрирования по частям, Она дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла .

Для успешного применения этого метода целесообразно пользоваться следующими общими указаниями:

1. Подынтегральное выражение разбивают на 2 множителя: И и DN (множиТЕль DN обязательно содержит Dx).

2. Множитель Dv выбирается так, чтобы по нему можно было бы найти первообразную V.

3. Интеграл должен получиться, вообще говоря, проще, чем данный интеграл.

ПояСНим применение этого метода примерами.

ПРимер 1.

Имеется несколько возможностей. Например, Можно положить , a , можно положить , a

Полагая найдем

Применяя формулу (5), получаем

Это разбиение на множители следует признать неудачНЫм, так как оно приводит к более сложному интегралу.

Положим теперь

отсюда найдем

Применяя формулу (5), имеем:

Но Поэтому окончательно получаем

Следовательно, это разбиение Подынтегрального выражения на множители следует признать удачным.

Пример 2.

Положим

; это дает

Применяя формулу (5), получим

Таким образом,

Иногда для получения окончательного результата ЦелесообРазно интегрирование по частям применять послеДОвательно несколько раз.

Укажем на некоторые, часто встречающиеся интегралы, которые вычисляются методом интегрирования по частям.

I. Интегралы вида: ГДе Р(Х) — Многочлен, а — Постоянное число, легко берутся методом интегрирования по частям, если положить Р(Х)=И.

Применяя этот метод, например, к интегралу Получим

Следовательно,

Второй интеграл является интегралом того ЖЕ типа, что и первый, но степень многочлена Р'(Х) на единицу ниже степени многочлена Р(Х). Применяя к нему снова интегрирование по частям и повторяя его столько раз, какова степень многочлена сведем, в коНЦе концов, наш ИНтеграл к интегралу .

Таким же путем вычисляются и интегралы

Пример. Вычислить интеграл

Положим

Применяя формулу интегрирования по частям, получим

К последнему интегралу снова применяем метод интегрирования по частям:

Следовательно,

Изложенный метод интегрирования показывает, что интегралы вида Где Р(Х) — многочлен, всегда берутся в элементарных функциях. В отличие от них, интегралы где R(X) — Рациональная дробь, не всегда интегрируются в элементарных функциях. Так, например, интегралы Не выражаются в элЕмЕнтарных функциях.

II. Интегралы ВИда: Где Р(Х) — Многочлен, всегда берутся методом интегрирования по частям, если за И принять трансцендентную функцию, являющуюся множителем при Р(Х). Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Полагаем

Формула (5) дает:

Пример 2.

Полагаем

Следовательно,

III. Вычисление интегралов вида:

Укажем, наконец, еще на один случай, когда интегрироВАние по частям приводит к цели. Пусть нам надо вычислить иНТеграл

Допустим, что после однократного или двукратного интегрирования по частям оказалось возможным представить этот интеграл в виде суМмЫ некоторой известной функции и интеграла от F(X), причем перед интеграЛОм стоит коэффициент K, отличный от единицы:

Тогда, перенося второе слагаемое в левую часть, получим

Откуда где одна из первообразных от ВыражеНия . Чтобы НАйти семейство всех первообразных (т. Е. неопределенный интеграл) остается к правой части добавить произвольное постоянное С:

Интегралы вида берутся с помощью только что указанного приема. Рассмотрим конкретный пример:

Пример.

Положим

Тогда

К последнему интегралу снова применим интегрирование по частям, положив

Тогда

Следовательно:

Определяем отсюда

Мы разобрали основные методы интегрирования. Перейдем тЕПерь к систематическому изучению того, как применяются эти методы к интегрированию конкретных классов элементарных функций. Для дальнейшего изложения нам понадобятся некоторые сведения о многочленах, которые мы приводим в слеДующем Пункте.

< Предыдущая		Следующая >