15. Интегрирование функций

Отыскание первообразной для данной функции есть задача значительно более трудная, чем задача нахождения по данной функции ее производной. В дифференциальном исчислении мы нашли производные основных элементарных функций, установили правила дифференцирования суммы, произведения, частного и суперпозиции функций. Эти правила позволили нам АвтоМатически определять производные любых элементарных функций. Как мы видели в дифференциальном исчислении, производная от любой элементарной функции есть функция элементарная.

Для отыскания первообразных от элементарных функций таких простых и универсальных правил и рецептов не существует. Так, например, нет никаких определенных правил для отыскания первообразных от произведения, частного, суперпозиции двух элементарных функций, даже если первообразную каждой из этих элементарных функций мы умеем найти. Более того, можно привести многочисленные примеры таких элементарных функций, первообразные для которых не являются элементарными функциями, хотя и существуют в силу теоремы, приведенной в предыдущей главе под номером 1. Например, первообразная для существует, но не является Элементарной ФункциЕй. Мы Еще вернемся к этому вопросу в дальнейшем.

Для облегчения интегрирования составляется таблица так называемых основных интегралов. Эта таблица ПОлучается из осНОвных формул дифференциального исчисления.

Вот эта таблица:

I. В частности, при

II.

III.

IV.

V.

VI.

VII.

VIII.

IX.

X.

Расширенная таблица основных интегралов приводится в приложении.

Доказательство этих формул сводится к проверке того, что дифференциал правой части равен подынтегральному выражению того неопределенного интеграла, который стоит в левой части равенства. Например, формула II следует иЗ соотношения , коТОрое выполняется для всех X, где функция определена и НЕпрерывна (т. е. для ).

Приведем, кроме того, два общих Правила, которые значительно расширяют возможности применения формул таблицы.

Правило А. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, Т. е.

, (K — Постоянное, отличное от нуля).

Для того чтобы доказать справедливость формулы правила А, очевидно, достаточно убедиться, что дифференциалы правой и левой части равны.

Дифференцируя левую часть равенства формулы правила А, имеем

Дифференцируя правую часть равенства формулы правила А, найдем

Итак, дифференциал правой части формулы правила А равен дифферЕНциалу левой части этой формулы. Таким образом, формула правила А доказана.

Правило В. Неопределенный интеграл алгЕБраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждого слагаемого в отдельности, Т. е.

Для того чтобы доказать справедливость формулы правила В, достаточно убедиться, так же как и в предыдущем случае, что дифференциалы левой и правой части соотношения формулы правила В тождественно равны.

Дифференцируя левую и правую части равенства формулы правила В, найдем

Итак,

Откуда следует равенство

Укажем теперь несколько приемов, которые во многих случаях позволяют сводить заданные интегралы к табличным. Такими приемами являются: интегрирование методом разложения, интегрирование методом замены переменной и интегрирование по частям.

Интегрирование методом разложения основано на разложенИИ Подынтегральной функции на сумму функций, для каждой из которых первообразную можно найти с помощью других методов.

Приведем простейшие примеры.

Пример 1.

Применяя правила А и В, имеем:

Но

Таким образом,

При каждом интегрировании мы получали свою произвольную постоянную. Но в конечном итоге мы пишем только одну произвольную постоянную, так как, если С1 C2 и С3 произвольные ПОсТОяннЫЕ, то и С=С1+5С2-7C2 также является произвольной постоянной. Поэтому окончательно

Правильность полученного результата нетрудно проверить дифференцированием. ДействИТельно:

Пример 2.

Так как то

Проверка:

.

Пример 3.

Удачно разложив Подынтегральное выражение, мы свели интеграл к табличнЫМ интегралам (формулы I и VII). Методом разложения берутся весьма немнОГие интегралы. Поэтому мы ПЕрейдем к рассмотрению других методов ИнтегрироВания; в СОединении с методом разложения они позволят ЗначиТельно расшИРить запас функций, которые мы сможем интегрировать.

< Предыдущая		Следующая >