14. Функции трех переменных

Наряду с существованием функций двух переменных, существует функции трех переменных U(X, Y, Z). Пределы и непрерывность для нее определяется аналогично функции двух переменных.

Аналогично можно подсчитать и частные производные для функции трех переменных

Возьмем теперь вектор, проекциями которого на оси координат будут служить значения частных производных в выбранной точке Р(X, Y, Z).

Назовем этот вектор градиентом функции U(X, Y, Z) и будем обозначать его символами grad u и Ñu.

Градиентом функции U(X, Y, Z) называется вектор, проекциями которого служат значения частных производных этой функции, т. е.

Проекции градиента зависят от выбора точки Р(X, Y,Z) и изменяются с изменением координат этой точки. Направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции.

Поверхностью уровня для функции трех переменных U(X, Y, Z) называется поверхность, заданная уравнением U(X, Y, Z)=U0, где U0=U(X, Y, Z0) или U(X0, Y, Z).или U(X, Y0, Z).

Справедлива Теорема:

Градиент функции U(X, Y, Z) в каждой точке совпадает с нормалью к поверхности уровня, проходящей через эту точку.

Например: Пусть - расстояние от точки до начала координат. Тогда

То есть градиент R направлен по радиус-вектору и модуль его равен единице.

В случае функции двух переменных U=U(X, Y) градиент лежит в плоскости ОXy и перпендикулярен к линии уровня (U(X, Y)=с).

Вопросы для самоконтроля:

1. Как находятся частные производные ?

2. С чем совпадает направление градиента? Куда он указывает?

< Предыдущая		Следующая >