13. Частные производные, частные производные высших порядков

Мы видели, что понятие производной функции оказалось очень полезным для исследования функций одной переменной. Но как применить это понятие для функции двух переменных. Можно считать одну переменную постоянной и взять производную по другой – так мы получим частные производные.

Пусть функция Z=F(X; Y) определена в открытой области D и точка (X0; Y0)ÎD.

Дадим значению Х0 приращение DХ, сохраняя значение второго аргумента неизменным и равным Y0. Тогда функция F получит приращение

, которое, естественно, назвать ее частным приращением по переменной Х или частным приращением в направлении оси ОХ.

Частной производной первого порядка функции F по переменной Х в точке (Х0; Y0) называется предел отношения частного приращения DХZ функции F в точке (Х0; Y0) к приращению DХ, когда DХ®0.

Частная производственная функции Z=F(х; Y) в точке (Х0; Y0) по переменной Х обозначается чаще всего следующим образом:

Итак,

Аналогично определяется частная производная (первого порядка) функции F по переменной Y в точке (Х0; Y0):

Из определения следует, что частная производная функции Z=F(х; Y) по Х есть обыкновенная производная функции Z=F(х; Y0), рассматриваемая как функция одной переменной Х при постоянном значении другой переменной Y. Чтобы найти F’X(X0; Y0), надо взять производную от F(X; Y) по Х, считая Y постоянным, и затем, в полученном результате, заменить х на Х0, а Y – на Y0.

Обратите внимание на отличие в написании производных .

Пример 1. Найти F’x(3;-2), если

Решение. Пользуемся правилами вычисления обычных производных, считая Х переменной, а У постоянным:

Аналогично следует поступать при вычислении частной производной функции Z=F(X;Y) по Y. Только теперь при нахождении F’Y(X0;Y0) надо брать производную от F(X;Y) по Y, считая Х постоянным.

Пример 2. Найти F’Y(-3; -2) функции предыдущего примера.

Решение. Фиксируя Х, получим

Таким образом, приходим к следующему правилу вычисления частных производных.

Чтобы вычислить частную производную от функции Z=Zf(х;Y) по одному из ее аргументов, нужно вычислить производную от функции F по этому аргументу, считая другой аргумент постоянным.

Заметим, что если частные производные функции Z=F(X;Y) существуют в точке (х0;Y0), то они представляют собой вполне определенные конечные числа, которые мы обозначили F’X(X0;Y0) и F’Y(X0;Y0). Но может оказаться, что функция F, определенная в области D, имеет в каждой точке этой области частные производные. Тогда F’X и F’Y есть функции, определенные в области D. В этом случае функции F’X(X;Y) и F’Y(X;Y), определенные в области D, называют частными производными функциями.

Пример 3. Найти функции Z=Yx.

Решение. Найдем сначала частную производную функцию по Х. При дифференцировании по переменной Х данная функция Z является показательной (здесь основание степени Y постоянно).

Тогда получим

При дифференцировании по переменной Y функция Z является степенной (здесь показатель степени Х постоянен). Будем иметь:

Пусть в области D функция Z=F(X;Y) имеет частные производные . Естественно поставить вопрос об определении частных производных по X и Y от этих функций в точке (X0; Y0)ÎD. Так мы придем к понятию Частных производных второго порядка от функции Z=F(X; Y) в точке (X0,Y0). Таким образом, каждая из производных функций порождает две производные второго порядка, которые обозначаются следующим образом:

Возможны и другие обозначения частных производных второго порядка. Например,

Частные производные, взятые по различным переменным, называются Смешанными.

Пример. Найдем частные производные второго порядка от функции

В точке (-1; 2).

Решение. Найти сначала частные производные функции первого порядка:

Дифференцируя каждую из полученных функций вторично и подставляя после этого вместо X значение –1, а вместо y значение 2, окончательно будем иметь:

Сравните между собой значения смешанных производных . Они совпадают. Это обстоятельство не является случайным. Частные производные, вычисленные по различным переменным и отличающиеся друг от друга лишь последовательностью производных дифференцирований, для широкого класса функций будут равны между собой.

< Предыдущая		Следующая >