09. Производные высших порядков, дифференцирование

Аналогично тому, как мы взяли производную от любой дифференцируемой функции f(x) мы можем взять и производную от функции . Это будет вторая производная функции y=f(x). Она обозначается или . Если мы повторим операцию дифференцирования ещё раз, – получим третью производную И так далее.

Например, для функции y=x3 =3x2, =6x, =6, y(4)=0 и т. д.

Рассмотрим более подробно приращение этой функции.

Как видим, приращение функции можно рассматривать как сумму двух слагаемых

1) линейного относительно

2) нелинейного → то есть содержащего Δх в квадрате.

При Dx®0 оба слагаемых являются бесконечно малыми, то есть стремятся к нулю, но при этом второе слагаемое стремится к нулю быстрее. Из-за этого приращение функции можно считать приближенно равным его линейной части. Это первое слагаемое называется главной, линейной частью приращения или дифференциалом этой функции.

Обозначается дифференциал так

Для независимой переменной дифференциал равен приращению то есть Dx=dx.

Тогда Или, если выразить отсюда производную

То есть производная функции равна отношению её дифференциала к дифференциалу независимой переменной. Часто это отношение dy/dx рассматривается просто как символ означающий производную y по аргументу x.

< Предыдущая		Следующая >