06. Разрывность функции

Итак, если хотя бы одно из трех условий непрерывности не выполняется, функция называется разрывной в точке х0, а сама точка x0-точкой разрыва. Если в точке x0 оба односторонних предела существуют и конечны, то разрыв называется разрывом первого рода. Пусть х0-точка разрыва первого рода, т. е.

Возможны следующие варианты:

1. f(x0+0)=f(x0-0)=L, но либо функция f(x) не определена в точке х0, либо f(x0) ¹ L (то есть не выполнено либо первое либо третье условие непрерывности). В этом случае разрыв называется Устранимым, так как если доопределить функцию в точке х0 или переопределить ее, положив f(x0)=L, функция f(x) станет непрерывной в точке х0.

2. f(x0- 0) ¹ f(x0+0) B этом случае разрыв называется Неустранимым.

3. Если же хотя бы один из односторонних пределов f(x0+0) или f(x0-0) не существует или бесконечен, то разрыв называется Разрывом второго рода. Разрыв второго рода всегда неустранимый.

Если в точке х0 функции f(x) и g(x) непрерывны, то в этой же точке непрерывными являются и функции

Свойство непрерывности сложной функции

Если функция u=g(x) непрерывна в точке х0 и функция y=f(u) непрерывна в точке u0=g(x0), то сложная функция y=f(g(x)) непрерывна в точке х0.

Основные элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения.

Таким образом, всякая элементарная функция, т. е. функция, составленная из основных элементарных, с помощью конечного числа алгебраических действий и композиций, является непрерывной во всех точках своей области определения.

Функция непрерывна на отрезке, если она непрерывна во всех точках отрезка.

Рассмотрим на примере, исследуем функцию на непрерывность, найдем точки разрыва и их тип. Построим схематический график функции. Данная функция определена на всей числовой оси.

А) если х < -1, то - многочлен нулевой степени – основная элементарная функция, – следовательно, при x < -1 функция у непрерывна;

Б) если –1 < x < 0, то мы имеем композиция степенных функций – элементарная функция, – следовательно, при –1 < x < 0 функция у непрерывна.

В) если х > 0, у=1-х – многочлен 1 степени – непрерывен. «Подозрительными» на разрыв являются только те точки, в которых изменяется аналитическое выражение функции, т. е. точки х=-1, х=0.

· Вычислим односторонние пределы в этих точках.

Для точки х=-1 имеем

Предел слева

Предел справа

Видим, что односторонние пределы функции в точке х = -1 существуют, но не равны между собой. Следовательно, эта точка является точкой разрыва первого рода.

· Для точки х=0 получаем:

Предел слева

Предел справа

Односторонние пределы существуют и равны между собой. Частное значение функции в точке х=0, у(0)=1, т. к.

Следовательно, исследуемая точка является точкой непрерывности.

График данной функции:

· на полупрямой (-∞,-1) график представляет собой прямую линию у = -1

· на отрезке [-1,0] график представляет собой часть окружности

· на полупрямой (0, ∞) график представляет собой прямую линию у = 1-х

Вопросы для самопроверки:

1. Какая функция называется непрерывной?

2. Какая функция называется разрывной?

3. Какой разрыв называется устранимым?

4. Какой разрыв называется разрывом 1-ого рода?

5. Какой разрыв называется разрывом 2-го рода?

6. Что Вам известно о непрерывности элементарных функций и основных элементарных функций?

< Предыдущая		Следующая >