02. Пределы, пределы слева, пределы справа

Пределом функции f(х) в точке х0 называется число L такое, что для любого числа e >0 существует число, δ>0 (зависщее от e), что для всех х, принадлежащих Е, удовлетворяющих неравенству 0< │х-х0│< δ, справедливо равенство │f(x)-L│<e.

Предел L обозначается по-разному:

или или

Пределом слева (или справа) функции f(х) в точке х0 называется число L такое, что для любого числа e >0 существуе такое число >0 (зависящее от e), что для всех х, принадлежащих Е, удовлетворяющих неравенству (или ), справедливо неравенство

Предел слева обозначается , а предел справа

Геометрический смысл предела функции в точке х0 таков: если значения аргумента Х будут взяты в

D - окрестности точки х0, то соответствующие значения функции останутся в e - окрестности точки L:

Аналогично, геометрический смысл предела слева ясен из рисунка. Отличие от предыдущего случая состоит в том, что значения аргумента берутся из d - окрестности х0 только слева:

Или для предела справа – значение аргумента берутся из d - окрестности точки х0 только справа от этой точки:

Пределы и называются Односторонними пределами.

Если оба односторонних предела в точке х0 существуют и равны между собой, то говорят, что функция имеет двухсторонний предел при x®x0 или просто имеет предел при Х стремящимся к х0.

Покажем теперь, что если функция имеет предел, то он единственный. Это легко установить геометрически. Допустим обратное: что существует два предела L1 и L2.

Для любого ε , в соответствии с определением предела можно указать такую d окрестность точки х0, что все значения функции будут находиться в e- окрестности L. Возьмем e столь малым, чтобы обе полосы не имели общих точек. Тогда при х из d окрестности х0 график функции должен находиться одновременно в ε-окрестности L1 ε в ε окрестности L2. Но так как мы рассматриваем только однозначные функции, то график функции не может находиться одновременно в каждой из этих полос. Таким образом, любая функция либо совсем не имеет предела, либо имеет только один.

В случае, если надо дать определение предела при x®+¥ либо x®-¥ , можно дать следующее определение d окрестности точки х0, которое позволит включить в определение предела эти случаи.

Пусть - - окрестность точки х0, причем >0.

Если , то функция называется Бесконечно малой в точке . Например, функция

Если То функция называется Бесконечно большой в точке . Например, функция

< Предыдущая		Следующая >