01. Функции, функции числового аргумента, обратные функции, сложные функции, ограниченные функции

Введем сначала определения и обозначения.

Множество вещественных чисел Х, удовлетворяющих неравенствам называется Сегментом или Отрезком и обозначается [a, b].

Множество вещественных чисел Х, удовлетворяющих неравенствам а<x<b называется интервалом И обозначается (а, b). Множество всех вещественных чисел называется Числовой прямой и обозначается .

Множество вещественных чисел, удовлетворяющих неравенству , называется Полупрямой и обозначается или .

Множество вещественных чисел, удовлетворяющих неравенству х>a (или х<b) называется Открытой полупрямой и обозначается или .

Любой интервал, содержащий заданную точку Х, называется Окрестностью точки Х.

Интервал , где Называется - окрестностью Точки х и обозначается .

-окрестностью Бесконечности называют множество всех чисел х, таких, что , т. е. .

-окрестностью называется .

- окрестностью называется .

Пусть имеются два множества E и F. Соответствие (или правило), которое каждому элементу Х, принадлежащему Е ставит в соответствие один и только один элемент Y, Принадлежащий F, называется Отображением множества Е в множество F или функцией С Областью определения Е и Областью значений F. Это отображение (или функцию) обозначают обычно буквой f и записывают у=f(х). Возможен такой частный случай, когда каждый элемент, принадлежащий F имеет единственный прообраз в Е. В этом случае можно определить обратное отображение (функцию). Функцией, обратной к f называется функция f-1, которая каждому элементу У, Принадлежащему F ставит в соответствие единственный элемент х=f-1 (у), принадлежащий Е такой, что f(х)=у. Например: функция служит обратным отображением для функции x=x2 (для всех ). Обе эти функции отображают множество R действительных чисел на себя.

Пусть F есть отображение множества Е во множество F, а G - отображение F во множество G, и пусть Х Принадлежит Е; тогда у=f(х) принадлежит F и можно рассматривать элемент z=g(у), который принадлежит G. Таким образом, каждому Х, принадлежащему Е, соответствует Z, принадлежащее G, и тем самым определено отображение множества Е в G, называемое Сложной функцией или Композицией отображения f на g или g[f(x)].

Наиболее часто встречается случай, когда Е и F представляет собой подмножества множества действительных чисел R. В этом случае отображение называют Функцией числового аргумента. Для наглядного представления таких функций может быть использован график (множество точек плоскости R2 с абсциссой Х и ординатой f(x)).

Последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел, поэтому ее значения могут быть занумерованы: f(1), f(2), ...f(n).... Числовой последовательностью называется последовательность, члены которой f(n) - вещественные числа. Примером числовой последовательности может служить натуральный ряд 1, 2, … n, …

Функция f(x) называется Ограниченной на некотором множестве А, если существуют числа m и M, такие,

что m£f(x)£M для любого Х Из множества А. Например, функция у = sin х, ограничена m = -1 и М = +1.

Следующая >