32. Способы вычисления потока
1°. Метод проектирования. Пусть поверхность (S) задана явным уравнением . В этом случае орт
и
. Для потока П Получим формулу:
. (1.4)
Замечание 1. При проектировании на другие плоскости в подынтегральную функцию в формуле (1.4) следует добавить (множителем) проекцию на координатную ось, перпендикулярную плоскости проектирования.
В формуле (1.4) () – область на плоскости Oxy, в которую проектируется поверхность (S); произведение Dxdy берется со знаком +, если угол
между осью Oz и нормалью
острый, и минус, если угол
тупой. Символ
означает, что в подынтегральную функцию вместо Z надо подставить
.
Замечание 2. Аналогичные формулы можно записать, если проектировать поверхность (S) на плоскости Oxz или Oyz.
Замечание 3. В случае неявного задания поверхности (S) вектор
.
Пример 1. Найти поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника АВС с вершинами в точках
,
,
(см. рис.2).
Рис. 2
Решение. Составим уравнение плоскости (поверхности (S)), проходящей через три заданные точки:
,
Откуда . Поверхность (S) проектируется на плоскость Oxy в область
,
. Из условия следует, что нормаль
образует острый угол с осью Oz. Имеем
=
; произведение Dxdy , берем со знаком “+”. Тогда по формуле (1.4)
.
Пример 2. Вычислить поля через замкнутую поверхность (S), ограниченную цилиндром
и плоскостями
,
. Положительной стороной (по определению) считаем внешнюю сторону замкнутой поверхности.
Решение. Поверхность (S) кусочно гладкая. Разобъем ее на три части
(см. рис.3): . В связи с этим
. 1 )Для поверхности
Z=0 и
.
Тогда . Проекция
поверхности (S) на плоскость Oxy есть полукруг
,
. С учетом направления нормали
для потока
получим:
.
Переходя к полярным координатам, найдем .2) Для
и
. Поверхность
проектируется на плоскость Oxy в область (
) (см. п.1), и поток
=.3)Для
,
и
=
. Однозначно поверхность
проектируется на плоскость Oyz в область (
), ограниченную линиями
.
Исключая отсюда X, найдем проекцию этой линии на плоскость Oyz:
. Для потока получим (напомним Замечание 1: следует учесть, что в этом случае
=
. 4) Для потока
получим
.
2°. Метод проектирования на все три координатные плоскости. Пусть поверхность (S) однозначно проектируется на все три координатные плоскости: (Dxy): Z=Z(X,Y); ;
.Для потока П В этом случае имеем (вторая формула из (1.3)):
(1.5)
В (1.5) знаки проекций Dydz, Dxdz, Dxdy выбираются в соответствии с сформулированным выше правилом.
Пример 3. Найти поток вектора через часть внешней стороны сферы
, заключенной в первом октанте.
Решение. Имеем . С учетом того, что поверхность расположена в первом октанте, проекции Dydz, Dxdz, Dxdy берем со знаком “+”. По формуле (1.5)
. Из уравнения сферы имеем:
;
;
и
. Очевидно,
. Вычислим этот интеграл в полярной системе координат:
=
=
=
. Следовательно,
.
3°. Применение формулы Гаусса-Остроградского. Приведем соответствующую теорему.
Теорема. Если в некоторой области проекции поля
непрерывны и имеют непрерывные частные производные
, то поток вектора
через произвольную замкнутую кусочно гладкую поверхность (S), расположенную целиком в области
, равен тройному интегралу от суммы
по области (V), ограниченной поверхностью (S):
(1.6)
- формула Гаусса-Остроградского.
Замечание. Подынтегральная функция в тройном интеграле (1.6) называется дивергенцией (расходимостью) поля ; обозначается
.
Пример 4. Вычислить поток вектора Через замкнутую поверхность
,
.
Решение. По формуле (1.6) . Для вычисления этого интеграла применим сферическую систему координат:
,
,
;
. Таким образом,
.
Пример 5. Используя формулу Гаусса-Остроградского (1.6), вычислить поток поля через верхнюю сторону части поверхности
, расположенную над плоскостью Oxy.
Решение. Для того, чтобы можно было применить формулу (1.6), замкнем снизу данную поверхность куском плоскости Oxy, который ограничен окружностью , Z = 0 . Вычислим подынтегральную функцию, стоящую под знаком тройного интеграла:
. Отсюда следует, что поток П=0. По свойству аддитивности
, откуда искомый поток
. Уравнение поверхности
и
. Таким образом,
- поток
через поверхность Z =0 численно равен площади круга
; искомый поток
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|