28. Поверхностный интеграл первого рода (ПИ-1)

Пусть : 1) в точках двусторонней гладкой (или кусочно-гладкой) поверхности s из пространства , ограниченной кусочно-гладким контуром, определена ограниченная скалярная функция ; 2) - произвольное разбиение s на N частей с площадями и диаметрами ; 3) - произвольный набор точек;

4)- интегральная сумма, соответствующая данному разбиению поверхности s и выбору точек .

Определение. Конечный предел интегральной суммы при ,не зависящий ни от способа разбиения поверхности s, ни от выбора точек , называется Поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности s:

Вычисление ПИ-1. Теорема 14.10. Если : 1) поверхность s задана неявным уравнением и Есть решение этого уравнения при или - решение уравнения при , или - решение уравнения при , где - проекции s на плоскости - соответственно, 2) между точками s и ее соответствующей проекцией установлено взаимно однозначное соответствие, то

, (6.3)

Причем ПИ-1 существует, если существуют соответствующие двойные интегралы.

Здесь координаты вектора И находятся по формулам (6.1).
ПИ-1 не зависит от выбора стороны поверхности.

Следствие. При явном задании s : в силу (6.2) из (6.3) получим

. (6.4)

Некоторые приложения ПИ-1

1. Масса материальной поверхности. Пусть - поверхностная плотность материальной поверхности s площади S. Тогда масса этой поверхности
.

2. Площадь искривленной поверхности s . Если принять в предыдущей формуле , то масса поверхности s числено равна площади S , т. е.
.

3. Статические моменты материальной поверхности s с поверхностной плотностью и массой M относительно плоскостей соответственно равны: , , .

4. Координаты центра тяжести материальной поверхности s :

Задания

1. Записать линейные свойства ПИ-1.

2. Записать свойство аддитивности для ПИ-1.

Пример 23. Вычислить ПИ-1 , где s - часть плоскости

, вырезанная цилиндром (рис.14.26).

Ñ Поверхность s проецируется на плоскость в круг . По формуле (6.4) . Из уравнения s следует , ; тогда =

=.#

Пример 24. Вычислить ПИ-1 , где s - полная поверхность тетраэдра, отсекаемого от первого октанта плоскостью .

Ñ Полная поверхность s тетраэдра складывается из его граней: ,где (рис.14.27).

Выпишем уравнения поверхностей И вычислим для них элементы :

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) .

Задав уравнения поверхностей в явном виде, мы определили тем самым плоскости проецирования их; - области, на которые проецируются .

По поводу последней записи напомним, что следует в подынтегральной функции независимые переменные (переменные из области ) оставлять без изменения, зависимую переменную заменить из явного уравнения соответствующей поверхности, а заменить выражением, полученным выше, причем . Находим: