29. Поверхностные интегралы второго рода (ПИ-2)

Пусть : 1) в точках двусторонней гладкой (или кусочно - гладкой) поверхности s задана ограниченная функция ; 2) выбрана положительная сторона поверхности; 3) - разбиение s на N Частей с площадями и диаметрами ; 4) - произвольный набор точек;
5) - проекция элемента на плоскость (проекция определенной стороны поверхности связана со знаком “+” или “–“ ); 6) - интегральная сумма, соответствующая данному разбиению и выбору точек.

Определение. Конечный предел при Называется Поверхностным интегралом второго рода От по определенной стороне поверхности s :

(здесь напоминает о проекции на и содержит знак).

При проецировании ориентированной поверхности s на плоскости и получаем ПИ-2:

Вычисление ПИ-2. Теорема 14.11. Пусть ориентированная гладкая поверхность задана явно. Тогда

А) если , то ;

Б) если , то ; (6.5)

В) если , то .

Связь между ПИ-1 и ПИ-2. Теорема 14.12. Если s - гладкая двусторонняя поверхность, ориентация s характеризуется нормалью = - функции, определенные и непрерывные на s, то

. (6.6)

Связь между ПИ-2 и тройным интегралом (формула Гаусса – Остроградского). Теорема 14.13. Пусть функции - непрерывные вместе со своими частными производными (первого порядка) в некоторой пространственной области V, ограниченной гладкой Замкнутой Поверхностью s с положительной внешней стороной. Справедлива формула

Замечание. О приложениях ПИ-2 смотри в разделе “Элементы теории поля”.

Пример 25. Вычислить ПИ-2: , где - положительная (внешняя) сторона сферы.

Ñ Для вычисления ПИ-2 замкнутую поверхность

Необходимо разбить на

С уравнением

(рис.14.28).

Тогда на основании (6.2) положительная сторона поверхности Характеризуется нормальным вектором , ибо угол между И положительным направлением Oz, т. е. (,ÙOz), – острый, а положительная сторона поверхностности - вектором , ибо угол (,ÙOz)- тупой. Проекция каждой из поверхностей И Есть область - круг радиуса R с центром в начале координат. Поэтому по формуле (6.5) + =½переходим к полярным координатам :

, ½= = = =½двойной интеграл “расщепился” в произведение определенных интегралов½=;

=; .

Итак, . #

Пример 26. Вычислить ПИ-2 общего вида: , где - внешняя сторона конической поверхности , ограниченной плоскостью Z =2.

ÑВнешняя сторона поверхности Характеризуется нормальным вектором, который составляет тупой угол с положительным направлением оси Oz (рис.14.29),

А потому , = .

Тогда ,.

Данный ПИ-2 можно вычислять по разному. Первый способ – вычислять три ПИ-2, составляющих данный поверхностный интеграл. Второй способ – использовать связь ПИ-2 с ПИ-1, что и сделаем. По формуле (6.6)

Рис.14.29

. Последний поверхностный интеграл есть ПИ-1. Проекция

на плоскость Oxy есть область

- круг радиуса 2 с центром в начале координат. Так как

, то по формуле (6.3) (или (6.4))

=½переходим к полярным координатам

½=

== = = .#

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить следующие поверхностные интегралы второго рода:

130. , где s - положительная сторона куба, составленного плоскостями .

131. , где s - положительная сторона нижней половины сферы .

132. , где s - внешняя сторона эллипсоида .

133. , где s - внешняя сторона пирамиды, составленной плоскостями .

Применяя формулу Гаусса – Остроградского, преобразовать следующие поверхностные интегралы, если гладкая поверхность s ограничивает конечную область (тело) V и , , - направляющие косинусы внешней нормали к s: