26. Криволинейные интегралы второго рода (КИ-2)
Пусть : 1) в точках непрерывной кривой AB из пространства определены ограниченные скалярные функции
;
2) - произвольное разбиение кривой AB на элементарные дуги
С длинами
и проекциями
,
,
на соответствующие оси координат; 3)
- произвольный набор точек;
4) - интегральная сумма, соответствующая данному разбиению и данному выбору точек.
Определение. Конечный предел интегральной суммы при
, не зависящий ни от способа разбиения AB , ни от выбора точек
, называется Криволинейным интегралом второго рода от функций
По пути AB:
.
Механически КИ-2 представляет собой Работу переменной силы , точка приложения которой описывает кривую AB.
Вычисление КИ-2. Теорема 14.7. Если линия AB задана в параметрической форме: , где
- непрерывно дифференцируемые функции, и при изменении параметра T от
К
кривая описывается именно от точки A к точке B, то
(5.5)
Причем КИ-2 существует, если существует определенный интеграл.
Следствия.
А) Для плоской линии AB: И функций
,
:
.
Б) Для заданной явно плоской линии
. (5.6)
Независимость КИ-2 от пути интегрирования
Теорема 14.8. Если функции Непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в некоторой замкнутой ограниченной поверхностно односвязной области V, то равносильны следующие четыре утверждения:
1) , где L – замкнутый контур, лежащий внутри V;
2) не зависит от выбора пути интегрирования;
3) есть полный дифференциал некоторой однозначной функции
, заданной в точках V;
4) выполняются равенства: .
Функция Может быть найдена, например, по формуле
(5.7)
Где - некоторая фиксированная точка области V, C – произвольная постоянная.
Связь между КИ-1 и КИ-2. Пусть спрямляемая (не имеющая особых точек) линия AB имеет в каждой точке касательную, положительное направление которой составляет с осью координат углы . Тогда
.
Связь КИ-2 с двойным интегралом (формула Грина). Теорема 14.9. Пусть: 1) функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные в открытой односвязной области
; 2) L – кусочно-гладкий контур, ограничивающий область
, и при положительном обходе L Ближайшая часть области S находится слева от наблюдателя. Тогда справедлива формула:
.
Площадь плоской области. Площадь S фигуры S, ограниченной простым кусочно-гладким контуром L, равна
.
Пример 20. Вычислить КИ-2: , где L – дуга параболы
, проходимая от точки
до точки
.
Ñ Кривая L представлена на рис.14.24.
По формуле (5.6) имеем =
=
. #
Пример 21. Вычислить КИ-2: , где L – замкнутый контур, полученный пересечением сферы
И цилиндра
, обходимый против часовой стрелки, если смотреть из начала координат (рис.14.25).
Ñ Для вычисления КИ-2 представим L в параметрической форме. Поверхность Запишем в виде
.Последнее равенство выполнится тождественно, если положить, например,
,
,
. Тогда из уравнения сферы имеем
= =
= =
. Отсюда, помня, что
, имеем
. Итак,
;
,
,
. По формуле (5.5)
=
=.#
Пример 22. Найти первообразную функции , если
.
Ñ По формуле (5.7) при получим
.#
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить криволинейные интегралы второго рода:
97. , где L – отрезок прямой
от точки пересечения ее с осью Ox до точки пересечения с осью Oy.
98. , где L – контур прямоугольника с вершинами
, указанными в порядке обхода L.
99. вдоль линий: 1)
, 2)
, 3)
, 4)
.
100. , L – эллипс
, обходимый в положительном направлении.
101. , где L – первая от начала координат арки циклоиды
,
.
102. , где L – отрезок прямой от точки (1;1;1) до точки (2;3;4).
103. , где L – дуга винтовой линии
.
104. , где L – линия пересечения сферы
и цилиндра
(
) , обходимая против часовой стрелки, если смотреть из начала координат (часть кривой Вивиани).
Убедиться, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, и вычислить КИ-2:
105. . 106.
. 107.
.
108. (контурное интегрирование не пересекает поверхность
.
Найти первообразную функцию и по полному дифференциалу:
109. .
110. .
111. .
112. .
113. . 114.
С помощью формулы Грина вычислить КИ-2:
115. , где L – окружность
.
116. , где L – эллипс
.
117. Вычислить , где L – простой замкнутый контур, пробегаемый в положительном направлении. Указание. Рассмотреть случаи: 1) начало координат находится вне контура L; 2) контур L окружает начало координат.
118. В каждой точке эллипса приложена сила
, равная по величине расстоянию от точки M до центра эллипса и направленная к центру эллипса. Найти работу
При перемещении в положительном направлении: а) вдоль дуги эллипса в первом октанте; б) вдоль всего эллипса.
119. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки ее приложения от оси Oz , перпендикулярна к этой оси и направлена к ней. Найти работу этой силы по окружности от точки
до точки
. Указание.
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|