25. Криволинейные интегралы. Криволинейные интегралы первого рода (КИ-1)

Пусть: 1) в точках простой (без точек самопересечения), спрямляемой (т. е. имеющей длину) кривой L из пространства определена ограниченная скалярная функция 2) - произвольное разбиение кривой L на элементарные дуги с длинами ; 3) - произвольный набор точек; 4)- интегральная сумма, соответствующая данному разбиению кривой L и выбору точек .

Определение. Конечный предел интегральной суммы при , не зависящий ни от способа разбиения кривой L, ни от выбора точек , называется Криволинейным интегралом первого рода от функции по кривой L: .

Вычисление КИ-1. Теорема 14.6. Если кривая l задана параметрическими уравнениями: , где - непрерывно дифференцируемые по T функции и возрастание длины L дуги кривой соответствует возрастанию T, то в предположении существования определенного интеграла имеет место равенство

. (5.1)

Следствия.

А) Если плоская кривая L задана Явно: , и , то

. (5.2)

Б) Если плоская кривая L задана в Полярных координатах: , то

. (5.3)

Некоторые приложения КИ-1

1. Масса материальной линии. Пусть , - линейная плотность массы материальной линии l. Тогда масса этой линии есть:

. (5.4)

2. Длина пространственной (или плоской) кривой L есть L: .

3. Статические моменты и координаты центра тяжести.

а) Для Плоской линии c плотностью и массой M статические моменты относительно координатных осей Oy и Ox:

, ;

Координаты центра тяжести:

, .

Б) Для Пространственной линии L c плотностью и массой M статические моменты относительно плоскостей и Oxy:

, , ;

координаты центра тяжести:

, , .

Пример 17. Вычислить КИ-1: , где L – прямолинейный отрезок, соединяющий точки и .

Ñ Уравнения отрезка прямой AB в параметрической форме: , или . Тогда и из (5.1) имеем

=.

Замечание. В случае явного задания отрезка прямой следует воспользоваться формулой (5.2). #

Пример 18. Вычислить КИ-1: , где L – кривая, заданная уравнением при условии .

Ñ Для построения кривой L преобразуем уравнение ее к виду ; таким образом, L есть полуокружность с центром в точке радиуса 1, расположенная слева от оси Oy (рис. 14.22).

Наличие комбинации в подынтегральной функции и в уравнении L наводит на мысль провести вычисления в полярных координатах, которые связаны с декартовыми координатами формулами . Тогда: из
Рис. 14.22

получаем – уравнение L в полярных координатах; из рис. 14.22 (или условий , , следует: ; , = ==, и из (5.3) . #

Пример 19. Найти массу одного витка материальной винтовой линии , , (рис. 14.23),

Если линейная плотность в точке обратно пропорциональна квадрату расстояния этой точки от начала координат.

Ñ По условию задачи плотность +

=, где K – коэффициент про-

Порциональности, . Для одного витка . Из формул (5.4) и (5.1) имеем: =

= . #

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить криволинейные интегралы первого рода:

81. , где L – отрезок прямой , заключенный между точками и .

82. , где L – контур прямоугольника с вершинами: .

83. , где L – дуга параболы , отсеченная параболой .

84. , где L – первая арка циклоиды .

85. , где L- половина лемнискаты .

86. , где L – часть спирали Архимеда , заключенная внутри круга радиуса R с центром в точке .

87. , где L – первый виток конической винтовой линии , , .

88. , где L –четверть окружности , лежащая в первом октанте.

89. , где L – дуга гиперболы , .

90. , где L – дуга астроиды в первом квадранте.

91. Найти массу первого витка винтовой линии , плотность которой в каждой точке равна полярному радиусу этой точки.

92. Найти массу линии , , от точки, соответствующей T=0, до произвольной точки, если плотность в каждой точке обратно пропорциональна квадрату полярного радиуса и в точке Равна единице.

93. Найти массу дуги параболы , если линейная плотность в текущей точке равна .

Вычислить координаты центра тяжести дуги однородной кривой :

94. , от точки До точки .

95. .

96. .

< Предыдущая		Следующая >